integration ved substitution

Indsæt substitutionen, bestem stamfunktionen, og substituer tilbage igen.

med viden om
                             ∫ ln(u)du = u·ln(u) - u + k
 

hvor skal subtitutionen indsættes henne? 

en substitution betyder en "erstatning af" / "træde i stedet for"

     2x-3 erstattes med t

     dx erstattes med (1/2)dt

                                          ∫ ln(2x-3)dx
 
    2x-3 = t

   dx = (1/2)dt
                                         ∫ ln(2x-3)dx = ∫ ln(t)·(1/2)dt  = (1/2)·∫ ln(t)·dt

                                    x > (3/2)
hvoraf
                                    t > 0
 

er stamfunktionen så (1/2)*t*lnt-t+k  ??

#6

Ikke helt. Hele stamfunktionen multipliceres med (1/2), og så substitueres tilbage igen via t = 2x - 3 .

          (1/2)·∫ ln(t)·dt  =  (1/2)· (t·ln(t) - t)  + k =  (1/2)· ((2x-3)·ln(2x-3) - (2x-3)) + k =

                                    (x - (3/2))·ln(2x-3) - x + (3/2) + k  

∫ ln(2x-3)dx og t=2x-3

Husk at, ∫ln(x) dx = x·ln(x) - x + K  (Formel NR. 1)

... da    ∫ln(2x-3) dx       sæt t = 2x-3

            ∫ln(t) dx              ^dt/_dx = 2      ⇔    dx = ^dt/₂         indsæt dx-værdien.

            ∫ln(t)·(^dt/₂)

           ¹/₂∫ln(t) dt            (tjek Formel NR. 1)