Integration ved substitution

Har vi om, og det kan åbenbart bruges til meget mere end jeg troede - fantastisk - men også svært at forstå, når man ikke har set det før.
Alle de manipulationer man laver med leibniz-skrivemåden retfærdiggøres i min bog med sætningen: 
∫f(g(x))dx = ∫f(u)h'(u)du , hvor u=g(x) og hvor h er den omvendte funktion til g
Sætningen er mere forvirrende for mig end forståelig. Kan nogen sige, hvad der står rent intuitivt?
I beviset for den har jeg også lidt problemer:
Man siger, at siden h er den omvendte funktion til g(x) er:
h'(g(x)) = 1/g'(x)
<=>
h'(g(x))*g'(x) = 1
Som altså uden videre kan indsættes i:
∫f(g(x))dx = ∫f(g(x))*h'(g(x))*g'(x)dx
Og man bruger så den oprindelige nemme sætning:
∫f(g(x))*g'(x)dx = F(x) + c
∫f(g(x))*h'(g(x))*g'(x)dx = ∫f(u)*h'(u)du
Jeg forstår ikke helt dette trin, kan nogen udpensle det. Jeg ved at de bruger:
∫f(g(x))*g'(x)dx = F(u)+c
u=g(x), og de så har benyttet at du/dx=g'(x) => du = dx*g'(x). Men når de så bruger dette til at bevise den mere generelle sætning, snyder de så ikke med leibniz-skrivemåden igen? - eller hvad? forklar gerne :)