Mindste vinkelrette afstand

Hvad mener du med "den mindste vinkelrette afstand"?

kan du poste den engelske tekst?

# 1   "den mindste vinkelrette afstand"?   til forskel fra den lodrette afstand imellem f og g.

Når en tangentnormal til f falder sammen med en tangentnormal til g. Afstanden fra f til g langs de sammenfaldende normaler, må være mindre end den lodrette afstand, med mindre normalerne er parallel med y-aksen.

# 2    Opgaven er principiel og ikke hentet i nogen opgavesamling.

#3

Opstil ligningerne for normalen til tangenten i et punkt på grafen for f(x) og i et punkt for grafen for g(x) , og bestem punkter (x₁ , f(x₁)) og (x₂ , g(x₂)) hvor disse normaler falder sammen.

"Den korteste vinkelrette afstand" mellem to funktioner må forstås som den korteste linie, der står vinkelret på begge funktioner samtidig.

Det fremgår, at en sådan konstellation ikke kan opstå for x>0 (dvs. i 1. kvadrant).

Situationen kan derimod opstå i 2. og 3. kvadrant, men da opgaven er begrænset til x>0 er der altså ingen løsning.

Ligningen for tangentens normal for f i punktet x₁

(1/x²)·(x - x₁) + 1·(y - y₁)  =  0   ⇒       2/x - x₁/x² - 1/x₁     =  0  

Ligningen for tangentens normal for g i punktet x₂

x·(x - x₂) + 1·(y - y₂)  =  0           ⇒    ½·x² + ½·x₂² - x₂·x  =  0

Afstanden fra (x₁ , f(x₁))  og (x₂ , g(x₂))   =   √ [ (x₂ - x₁)² + (g(x₂) - f(x₁))² ]

Har her vanskelighed ved at finde x₁ og x₂ til at indsætte i afstandsudtrykket for derefter at kunne minimere dette.

Det må vel så være, at finde skæringspunktet for normalen til f og grafen for g og omvendt?

# 5 er ikke korrekt. Tegnes f og g er det tydeligt, at der er en mindste afstand, og hvad skulle begrundelsen være for at der ingen mindste afstand er?

#6

Ifølge din egen forklaring i #3 skal den samme tangentnormal være tangentnormal til begge grafer.

I dine tangentligninger smider du bare y væk ?

Ligningen for tangentnormalen til grafen for f(x) i (x₁, f(x₁)) er

y = x₁² · (x - x₁) + 1/x₁

mens ligningen for tangentnormalen til grafen for g(x) i (x₂ , g(x₂)) er

y = (1/x₂) · (x - x₂) -(1/2)·x₂²

Hvis de to linier skal være identiske, skal både deres a og b stemme overens, dvs

x₁² = 1/x₂ , og

-x₁³ + 1/x₁ = -1 -(1/2)x₂²

Selvfølgelig måtte y ikke smides væk (# 6 & 7).

Tilbage står så at løse de to ligninger nederst  # 7 og derefter indsætte x₁ og x₂ i nævnte afstandsformel. Denne skal så naturligvis ikke differentieres, da minimum afstanden jo er givet ved de løste to ligninger.

Jeg siger super mange tak for et løft af opgaven.