Bevis kuglens rumfang

Det hedder et bevis.

Man skal beregne

V_y = 2π·₀∫^r x·√(r² - x2) dx = 2π·r³ · ₀∫^r (x/r)·√(1 - (x/r)²) (1/r) dx

                                              = 2π·r³ · ₀∫¹ t√(1-t²) dt

                                              = 2π·r³ · ₀∫¹ (1/2)·√(1-t²) d(t²)

                                              = 2π·r³ · (-1)·(1/2)· ₁∫⁰ √u du

                                              = π·r³ · ₀∫¹ u^1/2 du

                                              = π·r³ · [(2/3)u^3/2]¹₀

                                              = (2π/3)·r³

     en drejning på 360º om x-aksen af en kvartcirkel med centrum i (0,0)
     giver volumenet af en halvcirkel

kvartcirklen        
                        f(x) = √(r²-x²)     0 ≤ x ≤r   0 ≤ y ≤r

                        V_halvkugle = π·₀∫^r (f(x))²dx

                        V_halvkugle = π·₀∫^r (r²-x²)dx = π·(r²·r - (1/3)r³) = π·r³(1-(1/3)) = (2/3)π·r³

                        V_helkugle = 2· (2/3)π·r³ = (4/3)π·r³

     en drejning på 360º om x-aksen af en kvartcirkel med centrum i (0,0)
     giver volumenet af en halvkugle

Mange tak for jeres svar.

#1

Jeg vil gerne prøve at forstå, hvorfor der står r³ , men ikke r² (se tyk skrift).

V_y = 2π·₀∫^r x·√(r² - x²) dx = 2π·r³ · ₀∫^r (x/r)·√(1 - (x/r)²) (1/r) dx

#4

Det skyldes, at der bliver sat en faktor r udenfor i alt 3 gange. Ganger du ind med r³ i integralet til højre, går der en faktor r ud mod (x/r) , en anden faktor mod (1/r), og en tredje faktor går ind i kvadratroden
√(1 - (x/r)²) for at få integralet til venstre.

Hmm .. Dvs du gjorde:

        V_halvkugle = 2π·₀∫^r x·√(r² - x²) dx

... hvor √(r² - x²) = √(r²(1 - (x/r)²) = r·√(1 - (x/r)²)

     ... dermed = 2π·r₀∫^r x·√(1 - (x/r)²) dx = 2π·r³₀∫^r (x/r)·√(1 - (x/r)²)(1/r) dx  ... ikk?

Hvis ja, så har jeg forstået det. Men, jeg vil gerne vide hvorfor du har skrevet sådan i din mellemregninger, ved den tredje linje;  2π·r³ · ₀∫¹ (1/2)·√(1-t²) d(t²)   det med 1/2 og d(t²)

Jeg ved, at t = x/r , så dt/dx = 1/r ⇔ dx = dt/r eller (dt·t)/x ...

#6

Ja, det er korrekt. Så benyttes, at t dt = (1/2) d(t²) , og dernæst, at (1/2) d(t²) = -(1/2) d(1-t²) , hvor der så foretages substitution til u = 1 - t² .

#7

Vent, jeg forstår dine mellemregninger godt undtagen fra linje 3. Du har pludselig valgt, at  t dt = (1/2) d(t²). Jeg kan ikke se årsagen til det. Kan du venligst fortælle mig lidt om det detaljeret eller på en anden måde?

#8

Det er jo en forberedelse til at bruge substitutionen u = 1-t² , du = -2t dt .

#8

Det drejer sig om at benytte substitutionen u = 1-t², du = -2t dt i integralet

₀∫¹ t√(1-t²) dt = -(1/2) · ₁∫⁰ √u du = (1/2) · ₀∫¹ u^1/2 du = (1/2) ·[(2/3)u^3/2]¹₀ = 1/3

#10

Det giver nu endnu mere bedre mening, Andersen11! Mange tak for din hjælp!

#Andersen11

Er det vigtigt, at man ændrer på integrationsgrænser for hver gang man substituerer?

#12

Ja. Integrationsgrænserne skal passe til integrationsvariablen, ellers giver det ingen mening.

Tak :) *Thumbs up*