Arealet under grafen hjælp

Idet jeg henviser til et link du gav i en tidligere tråd om dette emne, ses det, at det forudsættes, at funktionen f(x) er voksende i det betragtede interval. Det betyder, at

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)

hvor man skal bemærke det uskarpe ulighedstegn for funktionsværdierne. Derfor kan man om arealerne kun slutte

h · f(x) ≤ ΔA ≤ h · f(x+h)

#1

Jeg tænker, at hvis funktionen er ens, og x₁ < x₂ , så må f(x₁) < f(x₂), altså med et skarpt ulighedstegn. Hvorfor er det ikke sådan?

#2

Fordi det definitinen for en strengt voksende funktion.

#3

Okay, men kan du forklare hvorfor at det er sådan?

wiki siger nemlig noget andet: http://da.wikipedia.org/wiki/Voksende_%28matematik%29

#4

Den siger jo præcis det, jeg har forklaret, hvis du ellers læser efter.

#5 jeg tog fejl, syntes du skrev strengt voksende.

Men kan du forklare hvorfor, at det er sådan, altså at  x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)

Desuden - kan beviset laves hvis der er tale om en strengt voksende funktion?

#6

En voksende funktion er defineret som en ikke-aftagende funktion.

#7

Beviset gælder også for strengt voksende funktioner. En strengt voksende funktion er også voksende. Men for at beviset fungerer, er det kun tilstrækkeligt at antage, at funktionen er voksende.

#8 Hvis du har en voksende funktion, f(x₁)=b*a^x₁ og f(x₂)=b*a^x₁

 hvor at x₁ < x₂ , så bliver det vel at f(x₁) <f(x₂). Hvilke funktioner gælder det for at f(x₁)=f(x₂) hvis x₁ < x₂

"er det kun tilstrækkeligt at antage, at funktionen er voksende" - er det fordi, at uligheden ellers ikke kan "løses" hvis der står f(x)*h <ΔA<f(x+h)*h ?

#9

Enhver konstant funktion er voksende (men ikke strengt voksende).

""er det kun tilstrækkeligt at antage, at funktionen er voksende" - er det fordi, at uligheden ellers ikke kan "løses" hvis der står f(x)*h <ΔA<f(x+h)*h ?"
Nej, slet ikke. Som jeg skrev i #8 er de strengt voksende funktioner jo inkluderet i beviset.

#10

Måske formulerer jeg mig lidt skævt, men jeg vil vide om man kan lave beviset hvis det KUN er en strengt voksende funktion der er tale om.

#11

Beviset virker jo også for en strengt voksende funktion.

#12

Det er jeg udemærket godt klar over...

TIl det første jeg skriver i #9, kan det forklares

#13

Jeg forstår ikke, om der er noget, du spørger om her? Jeg svarede på dit første spørgsmål fra #9 i #10.

Er der en funktion, hvor x₁<x₂ således at f(x₁)=f(x₂) - har du et eksempel på en sådan funktion.

#15

Det har jeg jo svaret på i #10. Genlæs #10:

     "Enhver konstant funktion er voksende (men ikke strengt voksende)."

#16

Så fatter jeg ikke dit svar.

#17

Hvad er det, du ikke forstår?

I #9 bad du om et eksempel på funktioner, for hvilke det gælder, at x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) = f(x₂), hvilket jeg fortolkede som en efterlysning af funktioner, der er voksende uden at være strengt voksende. Jeg oplyste som svar, at enhver konstant funktion opfylder den betingelse, altså enhver funktion af formen f(x) = k .

Jeg undskylder - jeg tænkte mig ikke om da jeg læste, forstår godt hvad du mener.

Men når jeg spørger om man kan lave beviset kun med en strengt voksende funktion, er det fordi at jeg vil vide om det er muligt.

Hvis man kun ser på den strengt voksende. 

#19

Beviset virker jo allerede for en strengt voksende funktion. Genlæs #12. Hvad er dit problem?