variable

Nej du skal bare vise at du forstår hvilke variable der skal bruges til løsningen af opgaven.

Du ved at skraldespanden skal have volumen 120 Liter.

Den har form som en cylinder med en halvkugle på toppen (samme radius).

Opstil ligningen for volumen af skraldespanden.

(volumen Cylinder) + (volumen halvkugle) = 120 dm³

Der er kun to variable her: radius og højde af  cylinder.

Jo tynderen cylinderen er, jo højere skal den være for at indeholde samme volumen.

Opstil en funktion der beskriver overflade arealet af skraldespanden som funktion af enten radius eller højde.

Sammenhængen mellem radius og højde er jo beskrevet i din føste ligning.

Find det sted i definitionsintervallet hvor arealet er mindst.

Der er to variable: radius r i cirklen og halvkuglen, og højden h i cylinderen.

Opstil et udtryk for rumfanget V og benyt V = 120 dm³ til at isolere h . Indsætte dette udtryk for h i et udtryk for det samlede overfladeareal, og find minimum for overfladearealet som funktion af r .

cylinder
V=pi*r^2*h

kugle
V=(4/3)*pi*r^3

pi*r²*h + ( ( (4/3)*pi*r³ ) /2 )

får jeg det til at give (h*pi+((2*pi)/3) )*r² er dette korrrekt?

Men skal jeg ikke også have en bund med ?

og ved ikke hvad du helt mener med finnde definitionsintervallet.

#3

Ja, det er korrekt. Bunden indgår i overfladearealet.

Men er ikke med hvordan jeg stadig skal bestemme radius så det hele (overfladeareal) bliver mindst muligt

Hvis du isolerer h i ligningen for volumen fås :

h = 120/(r²*π)-2*r/3

Opstil funktionen for overfladearealet.

Overfladeareal  = bund (cirkel) + side (2*π*r*(r+h)) + top (halvkugle)

indsæt (120/(r²*π)-2*r/3) for h:

Så får du en funktion der kun afhænger af radius

O(r) = O(cirkel) + O(cylinderside) + O(halvkugle)

Find minimum for denne funktion i definitionsintervallet. dvs for alle positive værdier af radius.

#5

Overfladen består af den flade cirkulære bund, den krumme cylinderoverflade, samt en halv kugleoverflade. Opstil et udtryk for overfladearealet, og indsær heri h udtrykt ved r. Derved får man overfladearealet som en funktion O(r) af r alene. Find nu minimum for funktionen O(r) ved at løse ligningen O'(r) = 0 .

#6

Arealet af den krumme cylinderflade er nu 2π·r·h .

#6+7

Nu skal jeg lige være med.

Jeg har en ligning, som beskriver rumfanget(volumen) af hele cylinderen, som jeg sætter lig med 120 L og derefter isolerer jeg h.

Dette udtryk jeg har fået ved at isolerere h benytter jeg mig af og indsætter på h's plads i ligningen hvor jeg bestemmer omkredset.

overfalden:

cirkel: O=2*pi*r

kugle: O=pi*2r*h

cylinder: O=2*pi*r*h

Er alle disse omkredse korrekt? Vil gerne vide om de er korrekte inden jeg går viderere

#9

Fremgangsmåden er korrekt. Der er ikke tale om omkredse, men om overfladearealer.

Cirklens og cylinderens overfladearealer er korrekte. Hele kuglens overfladeareal er 4πr² , så halvkuglens overfladeareal er 2πr² .

#10

cirkel: O=2*pi*r

kugle: O=4*pi*r²

cylinder: O=2*pi*r*h

så får jeg opstillet udtrykket: 2*pi*r*(2*r+h+1)

og nu burde jeg jo ifl. jer kunne indsætte 120/(r²*π)-2*r/3 ind på h's plads

O(r) = 2*pi*r*(2*r+120/(r²*π)-2*r/3+1)

skal jeg så isolerere r eller hvordan?

#11

Der er tale om en halvkugle. Genlæs #10. Jeg havde også overset, at dit udtryk for cirklens areal ikke var korrekt i #9. Cirklens areal er πr² .

Rettet*

cirkel: O=π*r²

kugle: O=2*π*r² .

cylinder: O=2*pi*r*h

så får jeg opstillet udtrykket: π*r*(3*r+2*h)

og nu burde jeg jo ifl. jer kunne indsætte 120/(r²*π)-2*r/3 ind på h's plads

O(r) = π*r*(3*r+2*120/(r²*π)-2*r/3)

skal jeg så isolerere r eller hvordan?

#13

Så har du O(r) som funktion af r og skal så løse ligningen O'(r) = 0 .

O(r) differentieret giver O'(r) = ( 2*( 7 * π * r³ - 360 ) ) / ( 3 * r² )

( 2*( 7 * π * r³ - 360 ) ) / ( 3 * r² ) = 0

=

r = ( 2 * 21^(2/3) * 5^(1/3) ) / ( 7*π^(1/3) )

såden.

Hvad gør jeg så nu??

Man finder

O(r) = 240/r + (5π/3)·r² ,

hvorfor O'(r) = 0 bliver til

-240/r² + (10π/3)r = 0 eller

r³ = 72/π, og dermed

r = (72/π)^1/3 ≈ 2,84

er det så facit ??

#18

Der er radius i beholderen med mindst muligt overfladeareal. Beregn også højden.

Og hvordan er det lige jeg gør det ?