Matematik
Homogen af grad 3.
Jeg har kigget igennem denne forum, og fik samme opgavesæt som https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1255428, (nogle af dem er ikke nævnt). Mit problem lyder således; "Giv selv et eksempel på en funktion, som er homogen af grad 3."
Jeg tænker mere på, hvordan kan man svare på denne opgave? Hvordan finder man på en funktion, så vil grad k være 3? Jeg har surfet rundt på nettet, og fandt kun i Wikipedia;
,
This result follows at once by differentiating both sides of the equation ƒ(αy) = αkƒ(y) with respect to α, applying the chain rule, and choosing α to be 1. The converse holds by integrating."
Hvorfor skal man netop vælge α = 1? Hvis jeg ikke spekulerer meget over det og ville hellere isolere k i dette udtryk, får man
k = x•∇f(x)/f(x)
eller i dette tilfælde til min opgave, skal det være, at
k = ([x,y]•∇f(x,y))/f(x,y)
Hvis jeg antager, at f(x,y) = 3x2y - y3
så får man jo, at k = 3. Men hvis jeg antager så, at f(x,y) = 3x2y - xy3
bliver k aldrig være lig med 3 (hvorfor?). Mit hovedspørgsmål er så, hvordan kan man finde på et eksempel af en passende funktion, som er homogen af grad 3? Tak for din tid
Svar #1
29. oktober 2012 af peter lind
Det er fordi det sidste led set alene er homogen af 4.grad. Du har jo selv fundet en udmærket homogen funktion af 3. grad. Hvis du vil have inspiration til flere så se https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1257372
Svar #2
29. oktober 2012 af Andersen11 (Slettet)
At funktionen er homogen af grad 3 betyder, at
f(αx) = α3f(x)
hvor α er en konstant skalar. Ethvert multivariabelt polynomium, hvor summen af de variables multipliciteter i hvert led er lig med 3, vil være homogent af grad 3.
Svar #3
29. oktober 2012 af YesMe (Slettet)
#1 & #2
Ja, jeg fandt på denne homogen funktion af 3. grad på nettet (ikke min egen). Jeg har tjekket dit link, så undrer det mig over noget. Er der en bestem metode; hvordan man kan finde på en funktion uden at gætte sig frem til de forskellige funktioner for at tjekke om nogle overhovedet er af 3. grad? (Forstår I hvad jeg mener?) Ligesom jeg gættede, at f(x,y) = 3x2y - xy3, så vil k ≠ 3. Jeg føler bare, at jeg ikke kan tage nogle af de eksempler (især dit link) uden jeg skal forklare, hvordan jeg kom i tanke om det - og så bliver jeg pludselig heldig til at få k = 3.
Tak for inspirationen.
Svar #4
29. oktober 2012 af peter lind
For mit vedkommende er det et gæt. Du kan let eftervise at linearkombinationer af homogene funktioner af grad k også er homogene af grad k. Så kan man prøve at løse differentialligningen. Partielle differentialligninger er bare ikke lette at løse. Her kan man evt. gætte på at f(x,y) = g(x)*h(x). Under disse omstæ.ndigheder kan den løses
Svar #5
29. oktober 2012 af Andersen11 (Slettet)
#3 (#0?)
Det bør være ret let at indse (og vise) hvad jeg nævnte i #2, nemlig at ethvert multivariabelt polynomium, hvor summen af de variables multipliciteter i hvert led er lig med 3, vil være homogent af grad 3 (og her kan "3" endda erstattes med et vilkårligt naturligt tal k).
Dit eksempel f(x,y) = 3x2y - y3 falder jo i denne gruppe.
Svar #6
29. oktober 2012 af YesMe (Slettet)
(For at undgå med at blive forvirret, arbejder jeg i gruppe med ham).
Jeg forstår ikke den tykke tekst: "Ethvert multivariabelt polynomium, hvor summen af de variables multipliciteter i hvert led er lig med 3, vil være homogent af grad 3."
Svar #7
29. oktober 2012 af Andersen11 (Slettet)
#6
Multipliciteten af et led x1α1·x2α2·...·xnαn i et mulltivariabelt polynomium er
μ = α1 + α2 + ... + αn
Skriv et svar til: Homogen af grad 3.
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.