Bevis af sætning under anvendelse af separation af de variable

du mener løsningen er givet ved ...

y=e^{kx + c}            anvend en potensregneregel

y = e^kx • e^c       lad e^c = C

y = e^kx • C       flyt om på leddene

y = Ce^kx

#2

y=e^{kx + c}            anvend en potensregneregel

y = e^kx • e^c       lad e^c = C

y = e^kx • C       flyt om på leddene

y = Ce^kx

Hvorfor kan jeg lade e^c=c? Jeg kan sagtens se jeg kan opnå resultatet på denne måde, men rent matematisk, hvordan forsvarer jeg den?

#3

Tallet e^c kalder man C , det er jo bare en anden konstant.

#4

#3

Tallet e^c kalder man C , det er jo bare en anden konstant.

Men så er det også en nødvendighed at skrive den nye konstant med stort, så de to ikke forveksles? 

#5

Formelt, ja, men i praksis kan man ofte tillade sig den frihed at "glemme" den første konstant og kalde den nye konstant ved det samme symbol. I det ovenstående er der netop benyttet forskellige symboler.

#6

#5

Formelt, ja, men i praksis kan man ofte tillade sig den frihed at "glemme" den første konstant og kalde den nye konstant ved det samme symbol. I det ovenstående er der netop benyttet forskellige symboler.

Så jeg helt med.

Angående sætning 2 er jeg til gengæld en hel del mere i tvivl.

dy/dx+ay=b

dy/dx+y=b/a

dy+y=(b/a)dx               (har det nogen indflydelse om der er plus eller gange mellem eks. dy og y?)

∫dy+y=∫(b/a)dx

ln(y)=-b/a^2 +c ?

#7

Din fremgangsmåde for Sætn. 2 er ikke korrekt.

Man skal løse differentialligningen

y' + ay = b ; flyt ay over på den anden side

y' = b - ay = a·((b/a) - y) = -a·(y - (b/a)) ; heraf

(y - (b/a))' = -a·(y - (b/a)) , eller

(y - (b/a))' / (y - (b/a)) = -a

der nu er separeret og kan integreres:

ln(y - (b/a)) = -ax + c

y - (b/a) = c·e^-ax , og endelig

y = (b/a) + c·e^-ax .