Matematik
Systemer når en funktion differentieres n gange
Hej. Jeg prøver herfortiden at udvikle lidt intuition om, hvordan funktioner opfører sig når man differentiere dem n gange. Jeg startede med at undersøge, hvad der skete, hvis man har en funktion f,
hvor i(x) er den simple funktion x. Når man så differentieres funktionen n gange følger de afledte denne formel
Denne formel har fundet ved bare at prøve mig frem. Mit spørgsmål går så på, hvordan ville bevise det eller, hvordan man beviser det når både i(x) og j(x) er arbitrære funktioner (f(x) = i(x)j(x)). Vi har dermed systemet
Som sagt, hvordan ville man formelt bevise ovenstående to formler?
Mvh. Jonas
Svar #2
21. december 2012 af Andersen11 (Slettet)
Hvis man har
f(x) = g(x)·h(x) , har man så
f '(x) = d/dx(g(x)·h(x)) = g'(x)·h(x) + g(x)·h'(x)
og generelt
f(n)(x) = dn/dxn(g(x)·h(x)) = ∑nj=0 (nj)·g(j)(x)·h(n-j)(x)
Det sidste kan man vise ved induktion efter n. Formlen gælder klart for n = 1. Antager man, at den gælder for et n, har vi
f(n+1)(x) = d/dx(f(n)(x)) = d/dx∑nj=0 (nj)·g(j)(x)·h(n-j)(x)
= ∑nj=0 (nj)·g(j+1)(x)·h(n-j)(x) + ∑nj=0 (nj)·g(j)(x)·h(n-j+1)(x)
= ∑n+1j=1 (nj-1)·g(j)(x)·h(n+1-j)(x) + ∑nj=0 (nj)·g(j)(x)·h(n+1-j)(x)
= ∑nj=1 (n+1j)·g(j)(x)·h(n+1-j)(x) + (nn)·g(n+1)(x)·h(0)(x) + (n0)·g(0)(x)·h(n+1)(x)
= ∑nj=1 (n+1j)·g(j)(x)·h(n+1-j)(x) + (n+1n+1)·g(n+1)(x)·h(0)(x) + (n+10)·g(0)(x)·h(n+1)(x)
= ∑n+1j=0 (n+1j)·g(j)(x)·h(n+1-j)(x)
hvor der blev benyttet, at
(nj-1) + (nj) = n!/((j-1)!(n-(j-1))!) + n!/(j!(n-j)!)
= j·n!/(j!·(n+1-j)!) + (n+1-j)·n!/(j!·(n+1-j)!)
= (n+1)·n!/(j!·(n+1-j)!)
= (n+1)!/(j!·(n+1-j)!)
=(n+1j)
Skriv et svar til: Systemer når en funktion differentieres n gange
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.