Matematik
Diff. ligning - hjælp til hele opg.
Hey :)
Opgaven
I en fiskerimodel betragtes en population af rødspætter, der alle har samme alder. I modellen er antallet N af rødspætter i populationen en funktion af tiden t (år), og ligeledes er længden l (cm) af en rødspætte en funktion af tiden t (år).
Om funktionen N gælder: dN/dt = -0,4*N
Det oplyses, at N(2)=5000.
1) Bestem væksthastigheden til tidspunktet t=2.?????
- Jeg ved, at jeg skal beregne væksthastigheden direkte af diff.ligningen foroven. Men hvordan ser diff. ligningen ud?
2) Bestem en forskrift for N som funktion af tiden t.?????
Om funktionen l gælder:
dl / dt = 6-0,2*l
3) Bestem en forskrift for længden l som funktion af tiden t, når det oplyses, at l(2)=14.
I modellen antages det, at den samlede vægt V(gram) af rødspætterne i populationen er en funktion af tiden t bestemt ved V(t) = 0,04*(l(t)) ^3*N(t)
4) Bestem den maksimale vægt af populationen, og angiv det tidspunkt, hvor populationens vægt er maksimal.
Svar #2
13. januar 2013 af Andersen11 (Slettet)
1) Beregn N'(2) ved at indsætte i diffferentialligningen; man kender N(2).
2) Løs differentialligningen for N(t) .
3) Løs differentialligningen for l(t) .
4) Indsæt de fundne forskrifter for N(t) og l(t) i udtrykket for V(t). Find maksimum for V(t).
Svar #3
13. januar 2013 af AndersRD (Slettet)
Jeg får den også til -2000. Men hvad vil det sige om væksthastigheden ?
Svar #5
13. januar 2013 af Andersen11 (Slettet)
#3
Væksthastigheden er -2000 . Populationen er aftagende med 2000 pr. tidsenhed.
Svar #6
13. januar 2013 af AndersRD (Slettet)
Svar #4
hvor får du e^0.8 fra ?
Har prøvet at løse den, men det går ikke op.....
Svar #7
13. januar 2013 af mathon
3)
L(t) = C•e-0,2t + 30
L(2) = C•e-0,2•2 + 30 = 14
C•e-0,4 = -16
C = -16•e0,4
L(t) = -16•e0,4•e-0,2t + 30
L(t) = -16e0,4-0,2t + 30
Svar #8
13. januar 2013 af Andersen11 (Slettet)
#6
Man har
dN/dt = -0,4·N , dvs.
N(t) = c·e-0,4t .
Der skal gælde N(2) = 5000 , dvs
N(2) = c·e-0,4·2 = 5000 , hvoraf
c = 5000·e0,4·2 = 5000·e0,8 , og dermed
N(t) = 5000·e0,8·e-0,4t = 5000·e0,8-0,4t
Svar #9
13. januar 2013 af AndersRD (Slettet)
Så fik jeg lavet det. ;) men hvordan laver jeg opgave 4.
Bestem den maksimale vægt af populationen, og angiv det tidspunkt, hvor populationens vægt er maksimal.
Svar #10
13. januar 2013 af mathon
4)
V(t) = 0,04*(l(t))3•N(t)
V(t) = 0,04*(30 - 16e0,4-0,2t)3 • 5000•e0,8-0,4•t
V(t) = 200 • e0,8-0,4•t • (30 - 16e0,4-0,2t)3
Svar #12
13. januar 2013 af mathon
ekstrumum kræver
V '(t) = 200•e0,8-0,4•t • (-0,04) • (30 - 16e0,4-0,2t)3 + 200 • e0,8-0,4•t • 3(30 - 16e0,4-0,2t)2 • 16•e0,4-0,2t•(-0,2) = 0
V '(t) = -8•e0,8-0,4•t • (30 - 16e0,4-0,2t)3 - 1920•e0,4-0,2t • (30 - 16e0,4-0,2t)2 = 0
Svar #14
13. januar 2013 af Andersen11 (Slettet)
Man kan benytte differentialligningerne til at løse spm 4).
Idet vi skriver l(t) som L(t) for at gøre det lidt tydeligere (rent typografisk), har vi
V(t) = 0,04·(L(t))3·N(t) , og dermed
V'(t) = 0,04·3·L2·L'(t)·N + 0,04·L3·N'(t) .
Nu benytter vi differentialligningerne for L(t) og for N(t): L'(t) = 6 - 0,2·L , og N'(t) = -0,4·N, så at
V'(t) = 0,04·[ 3·L2·(6 - 0,2·L)·N -L3·0,4·N ]
= 0,04·L·N·[ 3·L·(6 - 0,2·L) - 0,4·L2 ]
= 0,04·L·N·(18L - L2),
og vi ser, da L(t) > 0, og N(t) > 0, at
V'(t0) = 0 ⇒ L(t0) = 18
Idet L(t) = 30 - 16·e0,4-0,2t , har vi, at L(t0) = 18 ⇒ e0,4-0,2t0 = 3/4 , og dermed
N(t0) = 5000·e2·(0,4-0,2t0) = 5000·(3/4)2 og dermed findes den maksimale vægt til
V(t0) = 0,04·L(t0)3·N(t0) = 0,04·183·5000·(3/4)2 = 656100
Tidspunktet t0 for den maksimale vægt findes så ved at løse for t0 i ligningen
e0,4-0,2t0 = 3/4
Skriv et svar til: Diff. ligning - hjælp til hele opg.
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.