Afstanden mellem en linje og en plan i rummet

Det gør man vel heller ikke særlig tit: hvis linien ikke er parallel med planen vil den jo altid skære planen, og så giver det ingen mening at tale om afstanden.

Men HVIS de er parallelle, så er problemet jo relevant nok... i hvilken sammenhæng er problemet opstået, og hvordan er planen og linien angivet?

Linjen er parallel med planen

#2.
Du kan f.eks. bruge punkt-plan afstandsformlen, hvis du har en parameterfremstilling for linjen og en ligning for planen. Parameterfremstillingen indeholder jo et punkt på linjen.

Antag, at vi har en rumlinje (m) og en plan (ß), som er parallelle; med andre ord er en normalvektor

n_ß = (a,b,c)

til planen og en retningsvektor r for linjen ortogonale;

(n_ß)*r = 0

I så fald kan vi tale om afstanden dist(m,ß) mellem linjen m og planen ß, idet vi sætter

dist(m,ß) = dist(P_m,ß) (*)

hvor P_m er et punkt på m. Intuitivt er det oplagt, men lad os alligevel indse, at højresiden _er_ entydigt bestemt.

For to forskellige punkter

P' = (x',y',z'), Po = (x0,y0,z0)

på m er specielt

r_m = P'Po = (x0 - x', y0 - y', z0 - z')

en retningsvektor for m. I henhold til punkt-plan-afstandsformlen er

dist(P',ß) = |ax' + by' + cz' + d|/sqrt(a^2 + b^2 + c^2)

Tilsvarende for dist(Po,ß).

Ifølge forudsætningerne har vi nu, at

ax0 + by0 + cz0 + d - (ax' + by' + cz' + d) =
a(x0 - x') + b(y0 - y') + c(z0 - z') =
(n_ß)*(r_m) = 0

hvilket viser, at

dist(P',ß) = dist(Po,ß)

Afstanden dist(m,ß) i (*) er derfor entydigt bestemt; P_m kan vælges helt vilkårligt på rumlinjen.

'Opskriften' er derfor:

(1) Opsøg et punkt P_m på m.
(2) Bestem dist(P_m,ß); dette er samtidig afstanden dist(m,ß) mellem m og ß.

Hvis (n_ß)*r != 0, er rumlinjen og planen ej parallelle, og m vil da skære ß i et punkt. I dette tilfælde giver det derfor ikke umiddelbart mening at tale om afstanden mellem linjen og planen.

//Epsilon

ergo vil linien altid være lige langt fra planet, og dermed kan du vælge hvilket punkt du vil på linien, og finde afstaden fra dette til planet (for det har du jo formler for, ikke sandt?)