Matematik
Repræsentationsteori for kompakte grupper
Godaften.
Håber nogen kan hjælpe med denne videregående opgave :)
Lad G være en kompakt gruppe, lad μ være Haar målet på G med μ(G)=1 og lad H=(H,<.,.>) være et separabelt Hilbert rum over C. Antag endvidere at T:G→B(H) er en unitær kontinuert repræsentation af G. Sæt
K(u)v:=∫G<v,T(x)u>T(x)udμ(x), for u,v∈H
Vis, at ethvert egenrum Eλ til en egenværdi λ for K(u) er T-invariant, u∈H.
Der er givet følgende vink:
Vis først at ∀u∈H:K(u) kommuterer med T
................
Ekstra opgave: T behøver ikke at være unitær, hvorfor ?
...............
Håber nogen kan hjælpe :)
Svar #1
13. juni 2013 af ultramaniac (Slettet)
#0 Antag K(u) kommuterer med T,∀u∈H. Givet u∈H og lad λ∈C være en egenværdi for K(u) med tilhørende egenrum Eλ. Da haves
K(u)T(y)v=T(y)K(u)v=T(y)λv=λT(y)v for vilk. v∈Eλ og y∈G
som viser ar Eλ er T-invariant.
Svar #2
13. juni 2013 af ultramaniac (Slettet)
#0 at K(u) kommuterer med T for alle u∈H følger af regningen:
Lad u∈H og y∈G være givet, da haves
T(y)K(u)v=T(y)∫G<v,T(x)u>T(x)udμ(x)
=∫G<v,T(x)u>T(y)T(x)udμ(x)
=∫G<T(y)v,T(yx)u>T(yx)udμ(x) idet T er unitær og en homomorfi
=∫G<T(y)v,T(x)u>T(x)udμ(x) μ er invariant
=K(u)T(y)v, for vilk. v∈H
Svar #3
13. juni 2013 af ultramaniac (Slettet)
#0 ad ekstra opgaven.
Givet en kontinuert repræsentation (T,H) af G, hvor det separable Hilbert rum H er udstyret med det indre produkt <.,.>. Vis så, at der findes et indre produkt (.,.) på H, så T er unitær *og* at dette indre produkt er (norm-)ækvivalent med det oprindelige.
Svar #4
13. juni 2013 af AGAA (Slettet)
#ultramaniac - tak for svar i #1 og #2! Omkring #3, hvordan finder jeg et sådant indre produkt ?
... desuden findes Haar målet μ overhovedet ?!
Svar #5
13. juni 2013 af ultramaniac (Slettet)
#4 Haar målet eksisterer og er, på en kompakt gruppe med antagelsen μ(G)=1, entydigt bestemt ! .... Generelt gælder
På en lokalkompakt gruppe findes et og op til multiplikation med en konstant kun et højre Haar mål
... det må stå i din bog ?!
Svar #6
13. juni 2013 af ultramaniac (Slettet)
#4 ad #3 Lad T:G→B(H) være givet og lad <.,.> være det indre produkt på H. For faste u,v∈H betragtes afbildningen
g→<T(g)u,T(g)v>
fra G ind i C. Denne afbildning er klart kontinuert og da G er kompakt er den også integrabel. Med
(u,v):=∫G<T(g)u,T(g)v)dμ(g) u,v∈H
defineres et nyt indre podukt på H (check selv definitionerne).
Ved brug af Banach-Steinhaus følger hurtigt at <.,.> og (.,.) er (norm-)ækvivalente.
Skriv et svar til: Repræsentationsteori for kompakte grupper
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.