Differentialligning uden hjælpemidler

Sæt p(x) = a*x²+bx+x

Find p'(x)

sæt dette ind i differentialligningen. Det giver en ligning til bestemmelse af a, b og c

se

#2 rettet

se

Lettere variant (ligesom #1 forklarer)

se

Fedt, tak for hjælpen begge to. LubDub eftersom det er uden hjælpemidler er det særligt den sidste metode jeg finder anvendelig, tak for de fine dokumenter :).

Hej LubDub, jeg har kigget lidt på dine forskellige løsninger. Det ser ud som om, at du har sagt at de forskellige led der indeholder de samme ukendte er lig hinanden, det ville være fedt hvis du kunne forklare hvorfor man må det? / regnereglerne bag :)

#6

Der er tale om at bestemme en funktion (et 2.-gradspolynomium), der tilfredsstiller differentialligningen. Indsætter man en løsning p(x) i differentialligningen, skal funktionen 2x·p'(x) være lig med funktionen p(x) -2x² +1 . At to funktioner er lig med hinanden betyder, at deres funktionsværdier stemmer overens for samtlige værdier af x. Man benytter her, at to polynomier af samme grad stemmer overens, hvis og kun hvis deres koefficienter er ens.

Indsætter man et polynomium p(x) = ax² + bx + c i differentialligningen, får man på venstre side

2x · p'(x) = 2x · (2ax + b) = 4ax² + 2bx

og på højre side

p(x) - 2x² +1 = ax² + bx + c -2x² +1 = (a -2)x² + bx + (c+1)

Sammenligner man nu de to resulterende polynomier på hver side, får man, at deres koefficienter skal stemme overens, dvs. der skal gælde

4a = a-2 ,

2b = b ,

0 = c+1 , dvs

a = -2/3 ,  b = 0 ,  c = -1 .

Det 2.-gradspolynomium, der er løsning til differentialligningen, er derfor

p(x) = -(2/3)·x² -1

I dokumentet vedlagt i #4 er der en tastefejl til sidst.

       ja det var du ret i Andersen :)

# 7
 

Tak, det var en meget fin forklaring!