Integraler ved substitution

Du mener sikkert

₀∫¹ x²/(x³+1) dx      (parentesen om nævneren er vigtig her).

Substitutionen er korrekt. u = x³+1 , du = 3x² dx , så

₀∫¹ x²/(x³+1) dx = ₁∫² (1/3)·(1/u) du = (1/3)·[ ln(u) ]²₁ = (1/3)·ln(2)

På dansk hedder det et integral, ikke et integrale.

Hvordan kom du frem til dette:

₁∫² (1/3)·(1/u) du ? 

(i min opgave er den øvre grænse 1)

Du må mene ∫₀¹ x²/(x³+1) dx ellers er det du skriver følgende forkert.

I fjerde sidste linje skal diviisinen med 3*x² ind mellem integraltegnet og dx   Desuden du/3x² betyder du*x²/3

Bortset fra at du ikke kender almindelige regler for at skrive matematiske udtryk ser du ud til at have godt fat i det, så hvad er problemet ?

#2

Når man skifter variabel fra x til u = x³+1, skal grænserne jo følge den nye variable. x går fra 0 til 1, så u går fra 1 til 2.

#3

Problemet er hvordan jeg skal finde frem til min stamfunktion. Jeg har en facitliste og når jeg regner det ud, får jeg et forkert resultat 

#5

Integralet (uden grænser) reduceres til (1/3)·∫ (1/u) du . Find en stamfunktion til (1/u) og substituer eventuelt tilbage, hvis det med grænserne forvirrede dig.

#4

Okay, det jeg har jeg ikke lært før. Det giver lidt mere mening nu

∫1/udu  = ln(u) = ln(1+x³)

#6

Nu giver det hele mening ! Det med grænserne må nok have forvirret mig en smule

Tak for det 

jævnfør
                      _a ∫^b f(g(x))•g '(x)dx

som med    
                u = g(x)   og   dermed   du = g '(x)·dx

giver
                      _a ∫^b f(g(x))•g '(x)dx = _g(a) ∫^g(b) f(u) du = _α ∫^β f(u) du = F(α) -  F(β)