Matematik
Minimum, maksimum eller sadel?
Jeg er blevet givet funktionen f(x,y) = -x^2y^3 + 8x^2 + 3/2y^2 og har opstillet Hesse-matricen (2.ordensmatricen) således:
I -2y^3 + 16 , -6xy^3 I
H(x,y) = I -6xy^3 , -6x^2y + 3 I
Jeg bliver nu bedt om at bestemme, hvorvidt de stationære punkter (0,0), (-√(1/2), 2) og ( √(1/2), 2) er maksimums, minimums- eller sadelpunkter.
Jeg bruger metoden, hvor jeg bestemmer, ud fra A = -2y^3 + 16, B = -6xy^3 og C = -6x^2y + 3.
AC – B^2 > 0 og A < 0 så er (x0, y0) et maksimumspunkt .
AC – B^2 > 0 og A > 0 så er (x0, y0) et minimumspunkt.
osv.
Det er let at finde ud af, at (0,0) er et minimumspunkt, men for (-√(1/2), 2) og ( √(1/2), 2) bliver tingene sværere. Især da A bliver lig med 0.
Nogen, der ved, hvordan man skal tackle det lille problem?
Svar #1
02. oktober 2013 af Andersen11 (Slettet)
Svar #2
02. oktober 2013 af mathon
f(x,y) = -x2y3 + 8x2 + (3/2)y2
fx = -2x(y3- 8)
fxx = -2(y3- 8)
fy = -3y(x2y - 1)
fyy = -3(2x2y - 1)
fxy = fyx = -6xy2
ekstremumsværdier for f(x,y) kan kun forekomme som indre punkter (x,y),
når
fx = fy = 0 eller når fx ellel fy ikke er defineret
dvs hvis indre punkter:
ligningssystemet
-2x(y3- 8) = 0
-3y(x2y - 1) = 0
med løsningerne
(√(2)/2,2) (-√(2)/2,2) (0,0)
undersøgelse for disse tre punkter:
fxx(√(2)/2,2) • fyy(√(2)/2,2) - (fxy(√(2)/2,2))2<0 hvorfor der er saddelpunkt i (√(2)/2,2)
fxx(-√(2)/2,2) • fyy(-√(2)/2,2) - (fxy(-√(2)/2,2))2<0 hvorfor der er saddelpunkt i (√(2)/2,2)
fxx(0,0)>0 og fxx(0,0) • fyy(0,0) - (fxy(0,0)2>0 hvorfor der lokalt minimum i (0,0)
Skriv et svar til: Minimum, maksimum eller sadel?
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.