Matematik
norm vs seminorm
For en norm og seminorm, er der en afgørende forskel:
norm: llull=0 <=> u=0
seminorm: llull=0 <= u=0
Lad lp være rummet af funktioner hvor lulp er integrabel, dvs:
∫lulpdμ < ∞
Vi kan da indføre p-normen af u:
llullp = (∫lulpdμ)1/p
Desværre er p-normen kun en seminorm, idet vi har:
llullp=0 <=> u=0 μ-næsten overalt <=> u=0 bortset fra på eventuelle 0-sæt
Min bog gør p-normen til en rigtig norm ved at bruge noget, der hedder ækvivalensklasser, og jeg forstår ikke helt idéen. Den siger: Vi siger, at to funktioner u,v er ækvivalent, hvis de er forskellige på højst et nulsæt. Og p-normen bliver så til en ægte norm ved fastsættelsen:
ll[u]pll=inf{ ll[u]pllp : w∈lp, w ækvivalent med u}
Jeg er ikke helt sikker på, at jeg forstår ovenstående. Hvordan sikrer den, at p-normen bliver en rigtig norm, og hvordan skal elementer i dette nye rum helt præcis forstås?
Svar #1
04. oktober 2013 af peter lind
Det nye rum består ikke af funktioner men af mængder. Et element i mængden består så af funktioner. To funktioner må så højst afvige i et nulsæt.
I det følgende underforstås at funktionerne er definert på et endelig interval I.
Et eksempel lad f(x) = x være en funktion i sådan en mængde. Funktionen g(x) = x for x≠0 og g(0) = a a≠0 vil være forskellig fra f(x) på nær en nulmængde, så den ligger i samme ækvivalensklasse som f(x). På samme måde vil gi(x) = x for x≠i, g(i) = ai≠i i∈I være en funktion i ækvivalensklassen. Der findes selvfølgelig mange flere af den slags funktioner. Hver af dem vil give samme tal hvis man integrer dem over definitionsintervallet. De vil kort sagt have samme norm. Man kan derfor tilskrive klassen en norm som denne fælles norm. Hvis denne norm er forskellig fra 0 kan den ikke ligge i klassen med normen 0.
Svar #2
05. oktober 2013 af Mathematica (Slettet)
hmm.. Så er det ligesom at sige, at ækvivalensklassen bliver det nye 0-element? Eller hvordan fikser det præcist problemet med, at p-normen kun er en semi-norm?
Svar #3
05. oktober 2013 af peter lind
Den ækvivalensklasse, der har normen 0, består af alle funktioner, som har p normen 0 eller sagt med andre ord alle funktioner, hvor funktionsværdien er 0 undtagen evt. på et 0 sæt. Enhver anden ækvivalensklasse indeholder funktioner hvor p normen ikke er 0
Skriv et svar til: norm vs seminorm
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.