Volumen ved rotation om akser

Benyt

V_x = π · _a∫^b (f(x))² dx 

V_y = 2π · _a∫^b f(x)·x dx

Opgave 1:

                a)  
                      V_x = π · ₀∫⁴ (-x² + 5x)² dx = π • ₀∫⁴ (x⁴- 10x³ + 25x²) dx = π•[(1/5)x⁵ - (5/2)x⁴ + (25/3)x³]₀⁴ =

                       π •4³• ((1/5)·4² - (5/2)·4 + (25/3)) = 64π • ((48/15) - (150/15) + (125/15)) = 64π • (23/15) =

                                                                                                                                                 (1472/15)•π

.

                b)  
                      V_y = 2π · ₀∫⁴ x•(-x² + 5x) dx = 2π · ₀∫⁴ (-x³ + 5x²) dx = 2π • [-(1/4)x⁴ + (5/3)x³]₀⁴ =

                        2π • 4³ (-(1/4)·4 + (5/3)) = 128π • (-(3/3) + (5/3)) =  128π • (2/3) = (256/3)·π             

Mange mange tusind tak !

foranlediget af
https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1416579

Opgave 2:

        grafskæringer beregnes
        af
                          x² - 2x = x

                          x² - 3x = 0

                          x(x - 3) = 0

                              x = 0  v   x = 3

       da
                 x ≥  x² - 2x     for x ∈ [0;3]             

    har du for en drejning på 360º om x-aksen
    voluminet af V_x af M:

                                        V_x = π•₀∫³(x - (x² - 2x))² dx  = π•₀∫³(3x - x²)² dx  = π•₀∫³(9x² -  6x³ + x⁴) dx =

                                              π · [3x³ - (3/2)x⁴ + (1/5)x⁵]₀³ = π • (3·3³ - (3/2)·3⁴ + (1/5)·3⁵) =

                                              π • 81 • (1 - (3/2) + (3/5)) = π • 81 • ^{(10 - 15 + 6)}/₁₀ = π • 81 • ¹/₁₀ = 8,1·π

Av - tusind tak ! Det skulle godt nok have været om y-aksen, men det er jo min egen fejl, at jeg har fået skrevet noget forkert :/

Opgave 2 korrigeret for ændring af omdrejningsakse

    voluminet af V_y af M:

                                        V_y = 2π•₀∫³x•(x - (x² - 2x)) dx  = 2π•₀∫³x•(3x - x²)) dx  = 2π•₀∫³(3x² - x³)) dx =

                                         2π•[x³- (1/4)x⁴]₀³ = 2π•(3³- (1/4)·3⁴) = 2π•27·(1-(3/4)) = 2·27π·(1/4) = (27/2)·π

foranlediget af
https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1416579

Opgave 2b:
                       f(x) = x      g(x) = 4 - (1/2)x²

skæring for x > 0:
                             x = 4 - (1/2)x²

                             2x = 8 - x²

                             x² + 2x - 8 = 0

                             x = 2

for x ∈ [0;2] er g(x)≥f(x)
hvorfor
arealet af M
er
                             A = ₀∫²(g(x)-f(x))dx = ₀∫²(4 - (1/2)x² - x)dx = [4x - (1/6)x³ - (1/2)x²]₀² =

                                           4·2 - (1/6)·2³ - (1/2)·2² = 8 - (4/3) - 2 = 6 - (4/3) = 4 + (6/3) - (4/3) = 4²/₃

.

Voluminet V_y af A roteret 360º om y-aksen:

                             V_y = 2π · ₀∫²x·(4 - (1/2)x² - x)dx = 2π · ₀∫²(4x - (1/2)x³ - x²) dx =

                             2π · [2x² - (1/8)x⁴ - (1/3)x³]₀² = 2π · (2·2² - (1/8)·2⁴ - (1/3)·2³) = 16π · (1 - (1/4) - (1/3)) =

                                                                     16π · ((12 - 3 - 4)/12) = 16π · (5/12) = (20/3)·π     

TUSIND TUSIND TAK ! 

Jeg har et stort svagt punkt her og ved da hvad jeg skal lave i "juleferien" - det har været uundværligt !

Mange tusind tak for hjælpen - jeg har slet ikke ord for min taknemmelighed !