Maksimum/minimumsværdi for funktion på en mængde

Funktionen er kontinuert på en begrænset mængde med rand. Maksimums værdien er så enten på randen eller i det indre af mængden.

Differentier funktionen pat´rtielt med hensyn til henholdsvis x og y og løs ligningssystemet f'x = 0 og f'(y) = 0. For de løsninger der ligger inde i mængden finder du f(x,y)

Der næst finder du funktionsværdierne på randen altså for eks. f(1,1). Desuden skal du have fat i de resultater du har fundet, hvor punkterne ligger i mængden. Blandt alle dem skal du så finde den største henholdsvis den mindste værdi

f'x=3y-y²

f'y=3x-2xy

Både fx og fy kan faktoriseres til y·(3-y)=0 og x·(3-2y)=0 og jeg får de kritiske punkter til at være fx=(0,3) og fy=(0,3/2) hvilket ligger uden for mængden, så maksimum og minimum må derfor ligge i randen?

f(1,1)=2

f(2,1)=4

f(1,2)=2

f(2,2)=4

Betyder det så at der er 2 maksima og 2 minima?

Du skal løse ligningssystemet

3y-y² = 0

3x--2xy = 0

Begge ligninger skal være opfyldt samtidig. Det nemmeste er at løs den første ligning. Det giver 2 muligheder for y. Disse løsninger kan du så sætte ind i den anden ligning og finde det tilsvarende x

Hvis en funktion kan plottes, skader det aldrig at gøre det. Jeg har gjort det for dig her. Det skulle gerne hinte dig til de resultater, du er ude efter.

#3

Hvis jeg løser ligningssystemet 3y-y²=0 får jeg y=0 ∨ y=3.

Indsætter jeg det i 3x-2xy=0 får jeg det til at være 3x=0 ∨ -3x=0, men jeg kan ikke helt se hvor og hvordan det skal bruges?

Jeg håber, det hjælper.

Måske er det mig der spørger dumt, men jeg kan kun få maksimum og minimum til at -2, -3 eller -4. Derfor når man differentiere i forhold til x to gange, giver det nul, altså f_xx(x,y)=0 fordi f_x(x,y)=3y-y^2. Når jeg så indsætter de stationære i den for man differentiere i forhold til y to gange altså: f_yy(x,y)=-2x, så får jeg værdier der ligger udenfor invallet. Så jeg ved ikke hvad jeg gør forkert... Men mit spørgsmål er, hvordan kommer man fra at have fundet det stationære punkter til at kunne bestemme maksimum og minimumsværdierne?

De stationere punkter er mulige steder for maksimum eller minimumsværdier. Du kan simpelthen beregne værdierne for f(x, y) i disse punkter og se om de er det. Graferne i #4 viser dog at maksimum og minimumværdierne er på randen

Nu du siger at man kan beregne værdierne for f(x,y) ved du så hvordan man gør det? fordi jeg er helt på bar bund...

Du sætter de pågældende værdier for x og y ind i funktionsudtrykket. Hvis du har fundet at ( -10, 20) er et kritisk punkt skal du altså beregne f(-10, 20)

tak :) 

Når man indsætter de stationære punkter i funktionen får jeg at

f(1,1)=2

f(1,2)=2

f(2,3/2)=4,5 

Hvilket er de 2 minimumsværdier og maksimumsværdien, hvilket også passer overens med grafen.

Hvad skal dobbelt differentieringen gøre godt for, har man ikke fundet maksimum og minimumsværdierne på allerede? 

Det er ikke videre nødvendigt i dette tilfælde, da vi kunne plotte det - det er tydeligt, at ingen af de tre punkter er et saddelpunkt, så de må nødvendigvis enten være minima eller maksima, men det er ikke altid muligt at plotte funktionen. Til en anden gang, måske.

Dobbelt differentiering kan bruges til at fortælle om det er minimum, maksimum eller sadddelpunkt. Man kan også komme ud for at det ikke er nok til at afgøre, hvad man har med at gøre. Dobbelt differentiering betyder at man også skal finde f''_xy