Matematisk arbejde ud fra kraften

Du skal beregne de to arbejder  ∫_ABC F•dr og ∫_ADC F•dr hver for sig og vise, at de er lig med hinanden og også lig med ∫_AC F•dr .

Da F = (y²+5)i + (2xy-8)j , ser man, at et mjuligt potential er

V = xy² + 5x -8y

#1.

Tak for svaret. Hvis F = -∇V, bør V ikke være lig -xy² - 5x + 8y + C, hvor C er en konstant?

Jeg ved, at arbejdet som udføres på en bevægende partikel langs en kurve K i feltet er givet ved

W = ∫_K F•dr = -∫_K∇V•dr = -_{V_1}∫^V_2 dV = V₁ - V₂ = -ΔV

Hvordan skal jeg her bestemme W = ∫_ABC F•dr, når man har A(0,0), B(1,0) og C(1,1)?

Jeg har givet et bud hvad det vil give i den næste trin i #0.

#2

Jo, det er korrekt at fortegnet skal ændres, hvis der skal gælde F = -∇V.

Kurven ABC deles op i de to kurver AB og BC.

#3

Er det korrekt måde, at jeg har delt kurven ABS i to kurver AB og BC som angivet i #0?

Hvis det nedenstående udtryk passer

så har vi

og dermd giver f.eks. til den første kurve AB

Passer det, eller?

#4

For kurvestykket AB kan man benytte parameterfremstillingen

(x,y) = (t,0) , 0 ≤ t ≤ 1 ,

og for kurvestykket BC kan man benytte parameterfremstillingen

(x,y) = (1,t), 0 ≤ t ≤ 1 ,

og man har så

∫_ABC F•dr = ∫_AB F•dr + ∫_BC F•dr = ₀∫¹ 5 dt + ₀∫¹ (2t-8) dt = 5 + (1-8) = -2 .

Til sammenligning har man, med V = xy² + 5x -8y, at V(0,0) = 0, og V(1,1) = 1 +5 -8 = -2, og arbejdet er

W = V(1,1) - V(0,0) = -2 .