største tal/forkorte

Av, det var næppe særlig smart at vædde om det. :)

Men så vidt jeg husker, er det et delspørgsmål i en differentialregningsopgave. Såfremt du skriver opgaveteksten, kan vi sikkert besvare spørgsmålet.

//Epsilon

Ja, har også på fornemmelsen, at det er noget skidt, jeg har rodet mig ud i :)

Jo, det er et delspørgsmål i en opgave, men det er sådan set ikke nødvendigt at se resten af denne.. Men hvis det kan hjælpe på nogle ideer til, hvordan/om jeg kan få den forkortet, gør jeg det alligevel.

Hele opgaven lyder:
En funktion g har forskriften
g(x) = (x+3)/(x+5) ,x>0
Bestem monotoniforhold for g.
(Det har jeg gjort!)
En funktion f har forskriften
f(x) = (x+a)/(x+b) x>0
hvor a og b er positive tal og a<b
Bestem monotoniforholdene for f
(Det har jeg også gjort!)
Afgør, eventuelt ved hjælp at monotoniforholdene for f, hvilket af tallene
a) (3^200 + 10^100)/(3^200 + 10^102)
b) (3^201 + 10^100)/(3^201 + 10^102)
Der er størst...

#2:
Umiddelbart tror jeg ikke, at du får nogen videre succes med at forkorte. Benyt hellere monotoniforholdene fra det andet delspørgsmål.

//Epsilon

Så det kan ikke lade sig gøre?

#4:
Jo, det kan lade sig gøre; men umiddelbart ville jeg angribe problemstillingen anderledes.

Det ubestridt letteste er at benytte monotoniforholdene for f; de giver svaret uden yderligere regnearbejde.

Men hvis du gerne vil forsvare dit forslag, kan du gøre følgende:

Sæt x' = 3^200 og a = 10^100. Så er

x' = ((9/10)^100)a,

og dermed fås (ved at forkorte med a), at

(3^200 + 10^100)/(3^200 + 10^102) =
(1 + (9/10)^100)/(100 + (9/10)^100) (*)

samt

(3^201 + 10^100)/(3^201 + 10^102) =
(1 + 3(9/10)^100)/(100 + 3(9/10)^100) (**).

Dette for at "reducere" de astronomiske tal til mere håndgribelige størrelser. Bemærk, at vi intet ved om de to brøkers indbyrdes størrelsesforhold; vi ved blot, at de begge er positive og forskellige.

Idet vi multiplicerer over kors, har vi

(100 + 3(9/10)^100)/(100 + (9/10)^100) =
1 + (2(9/10)^100)/(100 + (9/10)^100) <

1 + (2(9/10)^100)/(1 + (9/10)^100) =
(1 + 3(9/10)^100)/(1 + (9/10)^100)

Men dette implicerer jo ifølge (*) og (**), at

(3^201 + 10^100)/(3^201 + 10^102) >
(3^200 + 10^100)/(3^200 + 10^102)

Dit 'grafregnerargument' i første indlæg vil formentlig kunne accepteres; men man skal være påpasselig med sådanne argumenter. De to brøker er meget nær ved at være ens (de afviger først på 7. decimal), og man kunne komme til at drage fejlslutninger, hvis ikke grafregneren opererer med tilstrækkelig stor præcision. I øvrigt lægger valget af de astronomisk store tal i opgaven vel op til, at spørgsmålet tænkes besvaret uden anvendelse af grafregneren.

//Epsilon

#5:
For overskueligheds skyld kan du sætte

s = (9/10)^100.

Dermed står i (*) og (**) at læse:

(3^200 + 10^100)/(3^200 + 10^102) =
(1+s)/(100+s) (*)

(3^201 + 10^100)/(3^201 + 10^102) =
(1+3s)/(100+3s) (**)

Eftersom

(100 + 3s)/(100 + s) =
1 + 2s/(100+s) < 1 + 2s/(1+s) =
(1 + 3s)/(1 + s),

følger det, at

(1 + 3s)/(100 + 3s) > (1 + s)/(100 + s),

Ergo, tallet i (**) er det største af de to givne tal.

//Epsilon