Matematik

Naturlig log.

09. december 2005 af viggojensens (Slettet)

Hvad er denne funktion differentieret?..

f(x)=(x^2)-4*ln(x)

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. december 2005 af Duffy

f(x)=(x^2)-4*ln(x)

f'(x) = 2x - 4/x

Duffy

Svar #2
10. december 2005 af viggojensens (Slettet)

ok.. i opgaven skal jeg finde den eksakte værdi af x, for hvilken f har minimum.

f(x)=(x^2)-4*ln(x)

f'(x) = 2x - 4/x

Jeg har fået x=2 som lokalt minimum og dermed resultat.... Er det rigtigt?

Svar #3
10. december 2005 af viggojensens (Slettet)

og jeg har fået Vm(f)=[1;90,79]

Er dette også rigtigt?

Brugbart svar (0)

Svar #4
10. december 2005 af Epsilon (Slettet)

#2:
Nej, minimumsstedet er x = sqrt(2), hvilket man indser ved at løse ligningen

f'(x) = 0

og ræsonnere ud fra fortegnsvariationen for f'.

#3:
Såfremt der ingen restriktioner er på x ud over den naturlige (x > 0), indses værdimængden at være

V_f = [2-2ln(2); infty[.

//Epsilon

Svar #5
10. december 2005 af viggojensens (Slettet)

Jeg kan godt få dit resultat på lommeregneren, men hvad er dine mellemregninger til f´(x)=0?

Svar #6
10. december 2005 af viggojensens (Slettet)

Ved godt jeg ikke skriver det, men det skal siges at der ER restriktioner på x, nemlig xe[1;10] - regnede med at mit bud var det rigtige så restriktionerne ikke var nødvendige.....

Brugbart svar (0)

Svar #7
10. december 2005 af Epsilon (Slettet)

#5:
Med henvisning til #1 og #2 har vi, at

f'(x) = 0 <=> 2x = 4/x <=> 2x^2 = 4 ...

Fortsæt selv.

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #8
10. december 2005 af sigmund (Slettet)

Jeg tillader mig at svare her:

f'(x)=0 <=>

2x-4/x=0 <=>

2x^2-4=0 <=>

x^2=4/2=2 <=>

x=±sqrt(2)

Men da f(x), og dermed f'(x), kun er defineret for x>0, må vi forkaste løsningen x=-sqrt(2). Dermed er der kun én løsning til ligningen f'(x)=0, nemlig x=sqrt(2). Da f'(x) er negativ til venstre for x=sqrt(2), og positiv til højre for x=sqrt(2), er x=sqrt(2) et minimumssted.

Brugbart svar (0)

Svar #9
10. december 2005 af Epsilon (Slettet)

#6:
Restriktioner er praktisk talt aldrig overflødige at nævne.

Nuvel, du skal blot justere den øvre grænse i forhold til den naturlige billedmængde.

Eftersom definitionsmængden D_f = [1;10] er et lukket og begrænset interval, og f er kontinuert, vil billedmængden V_f ligeledes være lukket og begrænset. Det globale minimumssted er fortsat

x = sqrt(2) E D_f

Maksimumsstedet opsøges på grundlag af monotoniforholdene.

//Epsilon

Svar #10
10. december 2005 af viggojensens (Slettet)

Ja.. det er jeg enig i....
Men er værdimængden ikke fortsat
Vm(f)=[1;90,79]??

Brugbart svar (0)

Svar #11
10. december 2005 af sigmund (Slettet)

Værdimængden er Vm(f)=[2-2ln(2);100-4ln(10)], eller med fire betydende cifre, Vm(f)=[0.6137;90.79].

Svar #12
10. december 2005 af viggojensens (Slettet)

#11:hmm.. skal man ikke tage det mindste og det største tal på monotinilinien?... Dermed 1 og 10 og indsætte og udregne i funktionen?

Brugbart svar (0)

Svar #13
10. december 2005 af sigmund (Slettet)

Nej, du skal udregne funktionsværdien i minimumsstedet (som i dette tilfælde er globalt), og funktionsværdien i højre endepunkt af definitionsmængden, for at finde værdimængden.

Brugbart svar (0)

Svar #14
10. december 2005 af Epsilon (Slettet)

#12:
Jo, for så vidt angår _maksimum_ for f. På grundlag af monotoniforholdene indser man netop, at maksimum for f skal søges blandt funktionsværdierne f(1) og f(10), og man finder ved eksplicit udregning, at

f(1) = 1^2 - 4*ln(1) = 1
f(10) = 10^2 - 4*ln(10) = 100 - 4ln(10)

Det ses klart, at f(10) > f(1). Minimum for f er fortsat ifølge monotoniforholdene

f(sqrt(2)) = 2-2ln(2),

Altså haves

V_f = [2-2ln(2); 100-4ln(10)],

da f endvidere er kontinuert i D_f.

//Epsilon

Skriv et svar til: Naturlig log.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.