Matematik
3. gradsligning
26. februar 2006 af
wiesel (Slettet)
Skal have hjælp til at løse denne her ligning
x^3 - 6x^2 + 32 = 0
x^3 - 6x^2 + 32 = 0
Svar #2
26. februar 2006 af Esmil (Slettet)
Heh, jeg kan løse ligningen helt uden lommeregner vha. af denne regel kun
http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem
Ifølge den er de eneste rationelle løsninger på formen p/q, hvor p | 32 og q | 1. (Her betyder x | y "x går op i y".) Altså skal jeg kun lede efter rationelle løsninger blandt tallene
{-32, -30, ..., -2, 0, 2, ..., 30, 32}.
Heldigvis var 4 det andet tal jeg prøvede, og det er en rod.
Nu ved jeg altså, at x-4 går op i polynomiet, så jeg dividerer ud:
x^3 - 6x^2 + 32 = (x - 4)(x^2 - 2x - 8)
Nu bruger jeg igen reglen på polynomiet
x^2 - 2x - 8
og finder, at 4 igen er en rod.
Igen dividerer jeg ud og finder, at
x^3 - 6x^2 + 32 = (x - 4)(x - 4)(x + 2).
Altså har polynomiet rødderne 4 og -2, hvor 4 er en dobbeltrod.
Hvis du ikke kan lide alt det gætværk, kan du bruge Cardanos lukkede formel for rødder af tredjegradspolynomier, beskrevet på disse to sider
http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Cardano.27s_method
http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function
http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem
Ifølge den er de eneste rationelle løsninger på formen p/q, hvor p | 32 og q | 1. (Her betyder x | y "x går op i y".) Altså skal jeg kun lede efter rationelle løsninger blandt tallene
{-32, -30, ..., -2, 0, 2, ..., 30, 32}.
Heldigvis var 4 det andet tal jeg prøvede, og det er en rod.
Nu ved jeg altså, at x-4 går op i polynomiet, så jeg dividerer ud:
x^3 - 6x^2 + 32 = (x - 4)(x^2 - 2x - 8)
Nu bruger jeg igen reglen på polynomiet
x^2 - 2x - 8
og finder, at 4 igen er en rod.
Igen dividerer jeg ud og finder, at
x^3 - 6x^2 + 32 = (x - 4)(x - 4)(x + 2).
Altså har polynomiet rødderne 4 og -2, hvor 4 er en dobbeltrod.
Hvis du ikke kan lide alt det gætværk, kan du bruge Cardanos lukkede formel for rødder af tredjegradspolynomier, beskrevet på disse to sider
http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Cardano.27s_method
http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function
Skriv et svar til: 3. gradsligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.