Side 2 - Rekursiv formel

F(1) er antallet af klodser i øverste lag.
F(2) er antallet af klodser i de 2 øverste lag.
F(3) er antallet af klodser i de 3 øverste lag.
.......
 

F(n) = n + (n-1) + F(n-1) (så følgende formel)
 

F(3) = 3 + (3-1) + (2-1) =  6 + 1 = 7 ? giver ikke mening. 

F(n-1) =3   ikke  1

Hvad menes der i spørgsmålet med F(13)?          
            1) Antallet af klodser i en trekant med 13 lag
            2) Antallet af klodser i en trekant med 13 klodser i grundlinjen

F(3) = 3 + (3) + (3) = 9

Hvad med

F(2) = 2 + 2 + 2 = så kan jeg jo ikke bruge den samme formel hele tiden? men skal bruge en anden formel

Er opgaven ikke at finde en rekursiv formel?
Altså en formel der bygger videre på noget tidligere beregnet.
I øverste lag er der een klods.
I de to øverste lag er der 4 klodser.
I hvert underliggende lag bruges alle overliggende klodser i beregningen.
Bemærk, det blir hele tiden kvadrattal.
Men spørges der om 13 lag?

Der spørges om antallet af klodser i den 13. figur

Og derefter skal jeg opstille en formel for antallet af klodser i den n'te figur. Men jeg tænker at man skal da opstille en formel som kan passe til alle ?

Så er den ikke rekursiv.

Den 13. figur er 13 etager høj og indeholder 13² klodser.
Den er 25 klodser lang.

#25 Det er ikke 3n, men n²? - det har dog ikke umiddelbart noget at gøre med din rekursionsformel.

#26 Hvorfor bliver det kvadrattallene? Vi er enige om, at det gør det, men ...?
Jeg kan godt vise, at F(n) = n² følger rekursionfomlen, men jeg kan ikke umiddelbart komme fra rekursionsformel til F(n) = n².

#0 I må have fået noget materiale om rekursion - det vil jeg gerne se.

Jeg ved ikke, hvorfor det er n². Jeg opdagede det bare.     :)

Der skal opstilles 2 formler: startformlen og rekursionsformlen.

Startformlen er simpelthen F(1) = 1.

Rekursionsformlen har formen F(n) = udtryk, der indeholder F(n-1).

Der er tre rækker i tabellen. Den øverste række er F(n). Den næste række er F(n)-F(n-1). Kald tallene her G(n). Så har vi F(n)-F(n-1) = G(n), hvilket er ensbetydende med F(n) = F(n-1)+G(n). Problemet er så reduceret til at finde et udtryk for G(n). Her er der en hjælp i tredie række, idet G(n)-G(n-1) = 2.

Find udtrykket for G(n) og indsæt i formlen ovenfor.

#29   Ifølge Schaum 19.3 er den aritmetiske række:      1+3+5+ ... (2n-2) = n²

Idet
a₁ = 1
har vi, for n ≥ 2 :
a_n = a_{n - 1} + (2n - 1)

n² = ((n-1)+1)² = (n-1)² + 2(n-1) + 1 = (n-1)² + 2n - 1

Et sødt lille induktionsbevis klarer ærterne.

Er der overhovedet nogen, der ved, hvad der er spurgt om i opgaven?

Så vidt jeg kan se, skal man finde en rekursiv metode til at finde antallet, F(n), af klodser, når n er antallet af klodser i den midterste søjle.

Tabellen er givet som hjælp. Der er forskellene, R(n) = F(n)-F(n-1), angivet. R(n) er antallet af klodser, der lægges på i det n'te trin. Ved at tælle på figuren, kan man se, at der lægges 2n-1 klodser på i det n'te trin, så R(n) = 2n-1.

Man kan også se, at i første trin lægges der kun den første klods, så F(1) = 1.

Samler man disse oplysninger, får man F(n) = F(n-1)+2n-1.

Læg mærke til, at den sidste række i tabellen indeholder 2 i hver søjle (når den er rigtigt udfyldt). Denne række er R(n)-R(n-1) = (2n-1)-(2(n-1)-1) = 2n-1-(2n-2-1) = 2n-1-2n+2+1 = 2. Meningen med denne række er sikkert at give en idé til R.

Efter hvad jeg i sin tid lærte, udfyldes de tomme felter ved:

   1   4   9  16  25  36
     3   5   7    9   11
       2   2   2    2
         0   0    0
           0    0
              0

Der er tale om en differens udviklling.