Gruppe af orden p-1

Er det ikke hvis gruppen har orden p, at den er cyklisk?
F.eks. har Kleins viergruppe orden 5-1=4 og er ikke cyklisk.
Man kan vist vise at grupper med primtalsorden er cykliske ved at bruge lagrange sætning på en undergruppe frembragt af et element i gruppen.

Ja, den sætning kender jeg godt, enhver gruppe af orden p er cyklisk; og yeps, der kan man bruge Lagrange. Men Kleins viergruppe, $Z_2 \\times Z_2$ er imidlertid en additiv gruppe; så vidt jeg husker er der også kun tale om multiplikative grupper.

Under alle omstændigheder, helt konkret leder jeg efter bevis for, at $(Z/pZ)*$ cyklisk, og det er jo givet, at $|(Z/pZ)*|=p-1$.
Af Fermat's sætning får vi, at

(1) a^{p-1} = 1 (mod p)

...og man kunne herved godt foranlediges til at tro, at ordenen af ethvert element er p-1 og $(Z/pZ)*$ derfor er cyklisk - men vi kan imidlertid ikke være sikre på, at p-1 er minimal, som i tilfældet hvor ordenen er p...

Det ser ikke ud til, at der er nogen "nem måde", udover den, jeg allerede har nævnt... Bygger på følgende sætning:

"Lad K være et endeligt legeme med q elementer. Så gælder det, at for enhver divisor d af q-1 findes der netop phi(d) elementer af orden d i gruppen af enheder, K*"...

... og så følger resultatet for $(Z/pZ)*$ som korollar, idet vi har
phi(p-1) elementer af orden p-1, i.e. phi(p-1) generatorer.

Men som sagt, hvis nogen har en genial idé til et alternativt bevis, skal I være yderst velkomne med forslag!

Okay, problem løst på forholdsvis nem måde, uden al for megen teori.

Et delvist hjemmelavet bevis, som primært bygger på Lagrange's tidligere omtalte sætning. Ideen var blot at påvise eksistensen et/flere elementer i (Z/pZ)*, der har orden p-1... Forholdsvis ligetil, lod det til :)