Matematik

Bevis: "Integration ved substitution" (haster)

12. marts 2007 af sLEMM (Slettet)

Hej.
Skal til i morgen kunne bevise nogle regneregler for ubestemte integraler ved tavlen: Sum og differens og integration ved substitution.
Jeg er rimeligt meget på bar bund. Er især interesseret i forudsætningerne for beviset.

Sætningerne lyder som følger:

Sum og differens:
?(f(x) + g(x))dx = ?f(x)dx + ?g(x)dx
?(f(x) - g(x))dx = ?f(x)dx - ?g(x)dx

Integration ved substitution:
?f(g(x))g’(x)dx = ?f(t)dt = F(t) = F(g(x)), hvor t = g(x)

Sidstnævnte har jeg prøvet at bevise, men jeg er ærligt talt i tvivl om jeg er færdig med beviset.
Så langt kom jeg:
F(t), t = g(x)
f(t) · g'(x) = f(g(x)) · g'(x)
Forudsætninger: g(x) skal være differentiabel, f skal være kontinuert

På forhånd tak.

Svar #1
12. marts 2007 af sLEMM (Slettet)

kan se den ikke var glad for at vise integral-symbolet. "?" i sætningerne betyder integral :)

Brugbart svar (0)

Svar #2
12. marts 2007 af Madsst (Slettet)

Reglerne følger regler for differentialkvotienter, som vises ved at danne differentialkvotienten og afprøve at det virker.

Svar #3
12. marts 2007 af sLEMM (Slettet)

Hvordan afprøver man, at differentialkvotienten virker?

Jeg ville sætte pris på at se beviset udført eller på at blive henvist til et site med nyttig information eller lignende.

Brugbart svar (0)

Svar #4
12. marts 2007 af Madsst (Slettet)

Beviser for regneregler for differentialkvotienter må stå i din bog. Jeg kan næsten ikke forestille mig andet.

Brugbart svar (0)

Svar #5
13. marts 2007 af sigmund (Slettet)

Det første følger af, at Riemann-integralet er lineært (se http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral ). Jeg ved ikke hvordan du skal bevise det. I stedet vil jeg betragte det som en fundamental egenskab for integraler.

For et bevis af integration ved substitution, se http://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_substitution , afsnit 1.

Brugbart svar (0)

Svar #6
13. marts 2007 af sheaf (Slettet)

Indledende argument i #5 er en cirkelslutning, idet det er linearitetsegenskberne, der skal vises.

Integraloperatorers linearitetsegenskaber vises direkte udfra deres definitioner.

Mængden af Riemann-integrable funktioner består af de funktioner, hvis (infimum af) oversum og (supremum af) undersum er endelige og ens.

For Lebesgue-integraler (sikkert off-topic i denne sammenhæng) er følger lineariteten af definition på integraltypen som linearkombinationer af indikatorfunktioner på målbare mængder.

Analogt for andre integraltyper.

Riemann-integralets linearitetsegenskaber kan altså vises ved at betragte under- og oversummer for linearkombinationer af funktioner under anvendelse af kontinuitetsegenskaberne for sådanne linearkombinationer.

Skriv et svar til: Bevis: "Integration ved substitution" (haster)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.