opgaver

I et koordinatsystem i rummet er en kugle givet ved ligningen:

x^2-4x+y^2-4y+z^2-2z=0

bestemmelse af kuglens radius og koordinatsættet til dens centrum C:
(x-2)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=4+4+1=9

C(2,2,1) og radius r=3

Linjen gennem koordinatsystemets begyndelsespunkt O(0,0,0) og kuglens centrum C skærer kuglen i O og P:
Jeg skal bestemme koordinatsættet til P:
Først finder jeg parameterfremstillingen gennem C og O:

(x,y,z)=(0,0,0)+t(-2,-2,-1) <-> (x,y,z)=t(-2,-2,-1)
så vi indsætter altså punkterne x=-2t,y=-2t,z=-t i cirklens ligning og bestemmer t:
x^2-4x+y^2-4y+z^2-2z=0 <-> (-2t)^2-4*(-2t)+(-2t)^2-4*(-2t)+(-t)^2-2*(-t)^2-2*(-t)=0 <-> 4t^2+8t+4t^2+8t+t^2+2t=0 <-> 9t^2+18t=0
t=-2 og t=0

altså får jeg, at P bliver:

(x,y,z)=t(-2,-2,-1)=(-2)*(-2,-2,-1)=(4,4,2)

Punktet P(4,4,2)

En plan alfa er bestemt ved:

2x+2y+z=18

Jeg skal gøre rede for at alfa er tangentplan til kuglen i punktet P:
Jeg indsætter punktet p i alfa og får:

2*4+2*4+2=8+8+2=18, altså ligger P på alfa. Er det sådan man gøre rede for det?

En anden opgave:
En linje m går gennem punktet C(1,1,2) og har retningsvektoiren r=(3,1,8):

Jeg skal bestemme parameterfremstilling for den plan gamma, der indeholder linjen m, og som er vinkelret på alfa ( alfa er givet ved 2x+2y-z-16=0 og alfas normalvektor er n=(2,2,-1)):
Jeg ved ikke rigtig, hvordan jeg skal finde parameterfremstillingen for en plan der indeholder et punkt og skal udspændes af to vektorer?

Kan man godt sige:

(x,y,z)=(1,1,2)+s(3,1,8)+t(2,2,-1)?

Hvordan kan man gøre rede for, at m både er vinkelret på planen alfa :2x+2y-z-16=0 og beta: 3x-y-z+44=0, når m går gennem punktet C(1,1,2) og har retningsvektoren r=(3,1,8):

Jeg havde tænkt mig, at finde skalaprodunktet af m's retningsvektor og alfas normalvektor og det samme med betas:

r*na=0<-> (3,1,8)*(2,2,-1)=0 <-> 3*2+1*2+8*(-1)=0<-> 6+2-8=0, altså er alfa parallel med m.

r*nb=(3,1,8)*(3,-1,-1)=9-1-8=0, altså er beta også parallel med m.
Jeg håber i kan hjælpe. Tak på forhånd.