Matematik
Hvad siger en stamfunktion, egentlig?
11. juni 2007 af
Nongolf (Slettet)
Jeg skal til eksamen i morgen, og i et af spørgsmålene skal jeg forklare hvad en stamfunktion 'er', og hvad dens sammenhæng med areal er.
Jeg er klar over hvad definitionen på en stamfunktion er, men hvad fortæller den egentlig om den funktion den stammer fra?
Ydermere er jeg klar over at man kan beregne arealer ud med bestemte integraler, men har den ubestemte stamfunktion noget at gøre med areal?
På forhånd mange tak,
Nongolf.
Jeg er klar over hvad definitionen på en stamfunktion er, men hvad fortæller den egentlig om den funktion den stammer fra?
Ydermere er jeg klar over at man kan beregne arealer ud med bestemte integraler, men har den ubestemte stamfunktion noget at gøre med areal?
På forhånd mange tak,
Nongolf.
Svar #1
11. juni 2007 af u2006 (Slettet)
At finde stamfunktioner er "det modsatte" af at differentiere.
F(x) siges at være en stamfunktion til f(x) hvis
F'(x) = f(x).
Sætter vi G(x) = F(x) + k, hvor k er et tal, er G'(x) = [F(x) + k]' = F'(x) + k' = f(x). Der gælder altså
Er F(x) en stamfunktion til f(x), er F(x) + k det også.
Har f(x) én stamfunktion, har den "mange".
Lad F(x) og G(x) være to stamfunktioner til f(x), og lad H(x) = F(x) – G(x). Ved differentiation ser vi, at H'(x) = F'(x) – G'(x) = f(x) – f(x) = 0. Det betyder, at H(x) må være en konstant funktion d.v.s. et tal.
Er F(x) en stamfunktion til f(x), er enhver stamfunktion til f(x) af form F(x) + k.
Geometrisk betyder det, at har man grafen for én stamfunktion F(x), får man graferne for de andre ved at parallelforskyde F-grafen langs 2-aksen.
Det kan vises, at alle kontinuerte funktioner har stamfunktioner.
En stamfunktion til f(x) kaldes også det ubestemte integral og skrives ? f(x) dx.
hjalp det?
F(x) siges at være en stamfunktion til f(x) hvis
F'(x) = f(x).
Sætter vi G(x) = F(x) + k, hvor k er et tal, er G'(x) = [F(x) + k]' = F'(x) + k' = f(x). Der gælder altså
Er F(x) en stamfunktion til f(x), er F(x) + k det også.
Har f(x) én stamfunktion, har den "mange".
Lad F(x) og G(x) være to stamfunktioner til f(x), og lad H(x) = F(x) – G(x). Ved differentiation ser vi, at H'(x) = F'(x) – G'(x) = f(x) – f(x) = 0. Det betyder, at H(x) må være en konstant funktion d.v.s. et tal.
Er F(x) en stamfunktion til f(x), er enhver stamfunktion til f(x) af form F(x) + k.
Geometrisk betyder det, at har man grafen for én stamfunktion F(x), får man graferne for de andre ved at parallelforskyde F-grafen langs 2-aksen.
Det kan vises, at alle kontinuerte funktioner har stamfunktioner.
En stamfunktion til f(x) kaldes også det ubestemte integral og skrives ? f(x) dx.
hjalp det?
Svar #2
11. juni 2007 af Nongolf (Slettet)
Ærlig talt nej, ikke rigtig :-)
FX:
Stamfunktionen til f(x)=8x^3 + 2x^2 - 3x + 10
er F(x) = 2x^4 + 2/3x^3 - 3/2x^2 + 10x + k
men hvad siger den sidste funktion om den første? Altså - hvis jeg kun havde F(x), hvad ville jeg så kunne fortælle om f(x), uden sådan at begynde på beregninger?
Tak for det hurtige svar, u2006.
Nongolf
FX:
Stamfunktionen til f(x)=8x^3 + 2x^2 - 3x + 10
er F(x) = 2x^4 + 2/3x^3 - 3/2x^2 + 10x + k
men hvad siger den sidste funktion om den første? Altså - hvis jeg kun havde F(x), hvad ville jeg så kunne fortælle om f(x), uden sådan at begynde på beregninger?
Tak for det hurtige svar, u2006.
Nongolf
Skriv et svar til: Hvad siger en stamfunktion, egentlig?
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.