Matematik

Bevis: Integration ved substitution

16. juni 2007 af Paggee (Slettet)

Hej og tak for et godt forum. Jeg skal til eksamen her om et par dage og skal lige have styr på beviserne. I beviset for integration ved substitution som beskrevet i Carstensen og Frandsens "Mat 3H" er der noget der undrer mig; der står:

?f(g(x))g'(x)dx = ?f(t)dt = F(t)+k = F(g(x))+k

Jeg håber at teksten bliver vist ordentlig, det er kopieret fra Word. Dét der undrer mig er, at udgangspunktet hedder:

?f(g(x))g'(x)dx

Hvorfor ønsker man at finde integralet af differentialet af en sammensat funktion, frem for blot integralet af en sammensat funktion f(g(x))?

På forhånd mange tak for jeres tid.

Svar #1
16. juni 2007 af Paggee (Slettet)

Og integraltegnene blev her lavet om til spørgsmålstegn, med undtagelse af det der står i anden-nederste linje :)

Brugbart svar (0)

Svar #2
16. juni 2007 af Duffy

Vha "integrations-prøven" der siger at en stamfunktions differential-kvotient er lig med funktionen der står under integraltegnet.
Altså:

Sf(x)dx = F(x)+k

så gælder at

(F(x)+k)' = f(x)

Med dette i mente få nu følgende:

(F(g(x))+k)' = F'(g(x))·g'(x) + (k)' =

F'(g(x))·g'(x) + 0 =

f(g(x))·g'(x)

Altså gælder at

S(f(g(x))g'(x))dx = Sf(t)dt = F(t)+k = F(g(x))+k

Ser du lyset nu?

Brugbart svar (0)

Svar #3
16. juni 2007 af mathon

se
http://www.peecee.dk/index.php?id=52757

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. juni 2007 af Benjamin. (Slettet)

Man ganger den sammensatte funktion f(g(x)) med differentialkvotienten af den indre funktion g´(x) for at kunne foretage substitutionen, og andet ligger der ikke i det. Hvis man ikke havde differentialkvotienten af den indre funktion g´(x) ganget på, kan det hurtigt vise sig sværere at integrere funktionen.

Svar #5
16. juni 2007 af Paggee (Slettet)

Tak til allesammen.

#Duffy, jeg kan som sådan godt forstå bevisføringen, men jeg undres over, at man skal bevise at

S(f(g(x))g'(x))dx = F(g(x))+k

#4 Benjamin, det var lidt det svar jeg ledte efter :) Er det simpelthen bare for, at resultatet bliver pænt at se på og overskueligt?

Brugbart svar (0)

Svar #6
16. juni 2007 af Benjamin. (Slettet)

#5 Det kan man godt sige, ja. Et godt eksempel på, hvor man netop bruger at den indre funktions afledede er ganget på, når der integreres, er visse polynomiumsbrøker - hvor det måske også er mere overskueligt og dermed lettere at se; i dét tilfælde kan den ydre funktion f.eks reciprokfunktionen.

Skriv et svar til: Bevis: Integration ved substitution

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.