Eksistens af R\Q

Det er ikke sådan lige at vise, men det kan gøres ved et modstridsbevis

Hvad mener I med eksistens i denne forbindelse? Det vil altid føre tilbage til et aksiom... Man kan vise, at 2^0,5 overholder den egenskab, at de reelle tal er velordnede.

Jeg er også nysgerrig efter, hvad Garbokranen egentlig mener... Kan du ikke uddybe det bare lidt? Man antager, at 2^0,5 ikke eksisterer og konstaterer, at så må der være et "hul" i rækken af de reelle tal - eller hvad?

Okay, vi skal bevise, at der eksisterer et reelt tal, således x^2 = 2.

Lad os betragte mængden A = {a tilhører R | a^2 <= 2}. Vi skal vise, at tallet (x = sup A) eksisterer og opfylder x^2 = 2.

Husk på, at enhver ikke tom nedad begrænset delmængde af R har en største nedre grænse. Dette er vi infimum-egenskaben.
Hvis b er den mindste øvre grænse hhv største nedre grænse for mængden A, kaldes b også for A's supremum hhv infimum; b = sup A hhv b = inf A. En elegant konsekvens heraf er følgende:
Lad A være en ikke tom opad begrænset delmængde af R og sæt B = -A (={-a|a tilhører A}). Så er inf B = - sup A, og inf(-A) = - sup A.
Derimod er supremum-egenskaben, at enhver ikke tom, opad begrænset delmængde af R har en mindste øvre grænse.

Lad os nu gå i gang med at bevise eksistensen af kvadratrod 2.
1. A er ikke tom. Da 1^2 <= 2 tilhører 1 A.
2. A er opad begrænset. Tallet 2 skal altså være en øvre grænse for A.
Alle r tilhører R : r > 2 => r ikke tilhører A. Heraf får vi, at
r > 2 => r^2 > 2^2 > 2. (Overvej).
3. x er veldefineret og 1 <= x <= 2. Da A ikke er tom og opad begrænset, har A et supremum x. Da 1 tilhører A og x er en øvre grænse for A, er x >= 1. Da 2 er en øvre grænse for A og x er den mindste øvre grænse for A, er x <= 2. Hermed har vi, at 1<=x<=2.
4. Lad os nu vise at x^2 = 2 indirekte. Lad x^2 være forskellig fra 2. Dermed er x^2 < 2 eller x^2 > 2.
Lad os se på x^2 < 2, hvor vi finder et tal r>x, der opfylder r^2 = 2. Dertil adderer vi §, således r = x + §, hvor § > 0. Heraf er det indlysende, at r > x, da § > 0, samt at r^2 = (x + §)^2 = x^2 + 2x§ + §^2 = x^2 + (2x + §)§. Ved at lade § <= 1 får vi, at
r^2 = x^2 + (2x + §)§ <= x^2 + 5§. Lad nu e = 2 - x^2. Vi har netop antaget, at x^2 < 2, så er e > 0, og da x >= 1 er x^2 >= 1, ergo er e <= 1.
Lad § < e/5 og >0. Da e <= 1, er § <= 1/5. Dermed er § også <= 1, og dermed er
r^2 <= x^2 + 5§ < x^2 + e = 2, men da r^2 < 2 er r tilhører A, og da x er en øvre grænse for A, er x >=r samtidig med, at r = x + § > x, hvilket netop fører os til en modstrid (reductio ad absurdum, som man siger :) ).
Antag så, at x^2 > 2. Med henblik på at nå en modstrid vil vi først finde et positivt tal s < x, som netop tilfredsstiller s^2 > 2. Lad s = x - §, hvor § > 0. Heraf er det indlysende, at
s < x og s^2 = (x - §)^2 = x^2 - 2x§ + §^2 > x^2 - 2x§ >= x^2 - 4§, da x <= 2.
Lad nu e = x^2 - 2. Da vi lige har antaget, at x^2 > 2, er e>0, og da 0 0 og s^2 > x^2 - 4§ = x^2 - e = 2.
Da s < x, som er den mindste øvre grænse for A, kan s ikke være en øvre grænse for A, hvilket giver os modstriden.
Da x >=1 og § = e/4 <= 1/2, er s = x - § > 0.
Lad a tilhøre A vilkårligt, og vi viser nu at a <= s. Hvis a < 0, følger uligheden a <= s af, at s >< 0, så vi antager, at a >=0. Da a tilhører A, er a^2 <= 2, som er < s^2. Hermed er a^2 < s^2, og da både a og s er >=0, får vi a < s, hvilket giver os, at s er en øvre grænse for A. Det er altså s.

Ja, det var det jeg mente med et modstridsbevis:)

Kort sagt kan man sige, at man starter med at konstruere et tal x på en snedig måde. Derefter konstaterer man, at der om dette tal ikke kan gælde x^2 forskellig fra 2, og derfor må x^2 = 2

Ja, det er altsammen meget godt... Jeg sidder også med min analysebog skrevet at Ebbe Thue Poulsen og morer mig over dette bevis. Det er faktisk som jeg tidligere skrev: Man antager, at kvadratroden af 2 ikke eksisterer, nemlig i de trin, hvor man antager, at x^2 < 2 hhv. x^2 > 2.

Under gennemgangen af antagelsen x^2 < 2, viser man at der altid vil ligge et tal mellem x og det "hul", hvor kvadratroden af 2 burde have været. Man viser nemlig, at der eksisterer et r, så x^2 < r^2 < 2. Nu kunne man starte processen forfra og sige, så må r være det største tal, hvor kvadratet er mindre end 2. Men argumentet bliver det samme. Igen findes der et endnu større tal end r, hvor kvadratet stadig er mindre end 2. Processen kunne blive ved i det uendelige. Der ligger nemlig overtælleligt mange tal i dette lille latterlige interval mellem x og "hullet" hvor kvadratrod 2 skulle være.

På samme måde argumenteres for at mindsteværdien af x^2 > 2 ikke eksisterer.

Men selve eksistensen hviler jo på det tynde grundlag, at man tror på eksistensen af supremum og infimum som en såkaldt naturlig egenskab ved de reelle tal.

Kender I Richard Dedekind? Han lavede netop en forklaring af, hvordan man med ulighedstegn kan måle "huller" i mængden af rationale tal, hvorved behovet for reelle tal som kvadratroden af 2 opstod. Dette handler i høj grad om eksistensen af supremum og infimum. Dedekind erkendte, at disse tal ikke var opfundet, så han sagde (med næsten guddommelig magt) at nu "skabte" han de manglende tal/udfyldte hullerne. Altså en skabelsesberetning...

Jeg synes det er lidt morsomt, at man bruger så meget krudt på at bevise noget på så tyndt et grundlag... At kvadratroden af 2 eksisterer er vel først og fremmest et definitionsspørgsmål.

Og hvad definitionsspørgsmål angår har vi det bekvemt indenfor matematik! Vi definerer bare løs, og hvad vi har sagt er derefter lov. Har vi brug for et tal med egenskaber som kvadratroden af 2, så definerer vi dem bare. Men det er selvfølgelig fornuftigt at tjekke dem - som beviset jo til dels gør - hvorvidt de overholder alle regneregler og tallenes velordning.

Er dette egentlig ikke et alt for højt niveau til denne hjemmeside? Eller er det ligegyldigt - bare det ikke skræmmer folk væk :)

Du har ret i, at beviset bygger på supremumegenskaben. Men det er der jo også så mange andre ting der gør. Al matematik bygger på aksiomer, så eksistensen af sqrt(2) er hverken mere sikker eller usikker end andre matematiske resultater.

Hvad sker der ?! 2^0,5 kan jo bare betragtes som diagonalen i et enhedskvadrat.. Så er det klart det findes.. at det er irrationalt blev bevist for 2500 år siden.. Man beviser sgu da ikke at det findes? det virker skørt!

Jae, men for 2500 år siden havde de ikke noget, der hed de reelle tal. Opgaven går ud på at vise, at sqrt(2) eksisterer inden for de reelle tal.

Jo, det er latterligt. Det svarer til:

Hvordan beviser jeg at 3 eksisterer i det naturlige tallegeme?

#10 Nej.
N er hverken en ring eller et legeme. (Overvej).

Det svarer væsentligt mere til spørgsmålet:

Hvordan beviser jeg, at (-1)^0,5 eksisterer?

For spørgsmålet handler om, hvorvidt et tal med en bestemt egenskab findes.

Også dette spørgsmål har den lille finte, at selvom et tal med de søgte egenskaber ikke umiddelbart findes blandt de tal, vi i forvejen kender, så definerer vi os blot ud af problemet.

Det afgørende er selvfølgelig, at vi kan vise, at vi har succes med definitionerne og bliver i stand til at gennemføre regelfaste udregninger med de nye tal. Hvor kvadratroden af 2 var med til at kræve indførelsen af de reelle tal, har kvadratroden af -1 afstedkommet de komplekse tal.

#11 Nej, jeg gider ikke at overveje.
#12 Selv min lærer formulerede det sådan her at:
ud fra Z kan vi ikke løse ax = b, så vi udvider bare vores verden med Q. Heraf kan vi ikke løse x^2 = 2 og så udvider vi bare vores verden med R, her kan vi ikke løse x^2=-1, så vi udvider til C. Sådan er det.. mere ligger der ikke i det.

#13
Jep, det er korrekt. Det er altsammen konstruerede objekter. Specielt er de irrationale tal konstrueret af nødvendig af netop den årsag du nævner: på Phytagoras' tid var man godt klar over, at diagonalen i et kvadrat med sidelængde 1 er målelig, blot kunne de ikke repræsentere denne størrelse.

Men det gør det ikke åbenbart at et givet tal eksisterer som element i disse konstruerede objekter. Hvadenten man konstruerer de reelle tal ved utrafiltre på Q, mængden af ækvivalensklasser af Cauchyfølger i Q, Tarskiaksiomatisering, Dedkind-snit i Q eller noget helt femte, så er det immervæk påkrævet formelt at redegøre for tallets egenskaber.

Tak for jeres besvarelser!