Matematik
opgave 2.055, er i krise
11. december 2007 af
velo (Slettet)
hej
Jeg sidder her med opgave 2.055, som jeg er i dyb krise med:
Figuren viser en kugle K og en plan a i rummet. Kuglen har centrum i punktet C, og punktet P er projektion af C på a. Planen skærr kuglen i en cirkel, l.
I et koordinatsystem har kuglen og planen ligningerne:
K: x^2 + y^2 + z^2 -4x -6y -4z = 8
a: 2x +2y + z = 3
Bestem koordinatsættet til hvert af punkerne C og P.
Bestem radius i cirklen l.
For at bestemme C der skriver jeg bare kuglens ligning på formen : (x-2) ^2 + (y-3)^2 + (z-2)^2 = r^2
jeg kan udfra denne ligning finde radius: (2,3,2)
men hvordan finder jeg P og radius for cirklen ?
på forhånd tak.
Jeg sidder her med opgave 2.055, som jeg er i dyb krise med:
Figuren viser en kugle K og en plan a i rummet. Kuglen har centrum i punktet C, og punktet P er projektion af C på a. Planen skærr kuglen i en cirkel, l.
I et koordinatsystem har kuglen og planen ligningerne:
K: x^2 + y^2 + z^2 -4x -6y -4z = 8
a: 2x +2y + z = 3
Bestem koordinatsættet til hvert af punkerne C og P.
Bestem radius i cirklen l.
For at bestemme C der skriver jeg bare kuglens ligning på formen : (x-2) ^2 + (y-3)^2 + (z-2)^2 = r^2
jeg kan udfra denne ligning finde radius: (2,3,2)
men hvordan finder jeg P og radius for cirklen ?
på forhånd tak.
Svar #1
11. december 2007 af dnadan (Slettet)
'jeg kan udfra denne ligning finde radius: (2,3,2)'
Jeg tvivler stærkt på, at dette er radius... dét er nok dit centrum C.
Men P:
- Find normalvektoren for planen.
- Opskriv en parameterfremstilling for den rette linje, med retningsvektoren n_a og som går igennem C.
- Find skærringspunktet mellem den rette linje og planen alfa. Détte er dit punkt P
Radius i cirklen:
Du kender punktet P og punktet C, find afstanden mellem disse.
Herudover kender du radius af kuglen)
- Benyt pythagoras til at beregne den manglende katete i din retvinklede trekant, détte er radius af cirklen.
(Prøv selv at lave en tegning)
Jeg tvivler stærkt på, at dette er radius... dét er nok dit centrum C.
Men P:
- Find normalvektoren for planen.
- Opskriv en parameterfremstilling for den rette linje, med retningsvektoren n_a og som går igennem C.
- Find skærringspunktet mellem den rette linje og planen alfa. Détte er dit punkt P
Radius i cirklen:
Du kender punktet P og punktet C, find afstanden mellem disse.
Herudover kender du radius af kuglen)
- Benyt pythagoras til at beregne den manglende katete i din retvinklede trekant, détte er radius af cirklen.
(Prøv selv at lave en tegning)
Svar #3
11. december 2007 af mathon
K: x^2 + y^2 + z^2 -4x -6y -4z = 8 eller (x-2)^2+(y-3)^2+(z-2)^2 = 5^2,
hvoraf
C = (2,3,2) - som du har fået - og r(adius) = 5
en normalvektor til planen a, er vektor_n = [2,2,1]
vektor_PC kan således skrives k*vektor_n:
vektor_PC = k*vektor_n
C's afstand fra planen 2x + 2y + z = 3 findes
af
|vektor_PC| = dist(a,C(2,3,2)) =(2*2+2*3+2-3)/sqr(2^2+2^2+1^1) = 3, hvoraf
C ligger i planen a's positive halvrum (dist>0) regnet efter vektor_n
[x-2,y-3,z-2] = k*[2,2,1] = [2k,2k,k] og dermed
x-2=2k
y-3=2k
z-2=k
(x-2)^2+(y-3)^2+(z-2)^2 = 9, hvoraf
(2k)^2+(2k)^2+k^2 = 9 eller
9k^2 = 9
k^2 = 1
k =+-1, hvor -1 må forkastes
dermed er
k = 1
og
x-2=2*1 eller x = 4
y-3=2*1 eller y = 5
z-2=1 eller z = 3
P(4,5,3)
hvoraf
C = (2,3,2) - som du har fået - og r(adius) = 5
en normalvektor til planen a, er vektor_n = [2,2,1]
vektor_PC kan således skrives k*vektor_n:
vektor_PC = k*vektor_n
C's afstand fra planen 2x + 2y + z = 3 findes
af
|vektor_PC| = dist(a,C(2,3,2)) =(2*2+2*3+2-3)/sqr(2^2+2^2+1^1) = 3, hvoraf
C ligger i planen a's positive halvrum (dist>0) regnet efter vektor_n
[x-2,y-3,z-2] = k*[2,2,1] = [2k,2k,k] og dermed
x-2=2k
y-3=2k
z-2=k
(x-2)^2+(y-3)^2+(z-2)^2 = 9, hvoraf
(2k)^2+(2k)^2+k^2 = 9 eller
9k^2 = 9
k^2 = 1
k =+-1, hvor -1 må forkastes
dermed er
k = 1
og
x-2=2*1 eller x = 4
y-3=2*1 eller y = 5
z-2=1 eller z = 3
P(4,5,3)
Skriv et svar til: opgave 2.055, er i krise
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.