analyse

Hej stræbertøs

I spørgsmål a) af 399 skal du se på de partielt afledte af f:

f_x(x,y) = 2x*ln(1-x²-y²)+x²*(-2x)/(1-x²-y²)
og
f_y(x,y) = x²*(-2y)/(1-x²-y²)

Hvis x=0 ses det, at begge de partielt afledte er nul (nulreglen) - altså er der tale om kritiske punkter for f. Hvis derimod x?0 kunne man se på f_x omskrevet til:

f_x(x,y) = 2x*[ln(1-x²-y²)-x²/(1-x²-y²)]

Hvor altså faktoren [ln(1-x²-y²)-x²/(1-x²-y²)] er nødt til at give nul, hvis produktet skal give nul (nulreglen igen). Men da 1-x²-y²<1 fordi x?0 er ln(1-x²-y²) nødvendigvis negativ. Ligeledes er -x²/(1-x²-y²) negativ fordi 0<1-x²-y² da vi er i den åbne kugle. Derfor er hele faktoren [ln(1-x²-y²)-x²/(1-x²-y²)] strengt negativ og dermed ikke nul.

Konklusion
x=0 => f_x=f_y=0
x?0 => f_x?0
Altså kan de kritiske punkter kun være der hvor x=0.

Punkt b)

Hvis man ser på forskriften

f(x,y) = x²*ln(1-x²-y²)

hvor 1-x²-y²=<1 så er ln(1-x²-y²)=<0 og dermed f(x)=<0. Og da f(0,y)=0 antager f altså den største værdi, den kan, i alle de kritiske punkter. Der er altså tale om maksima.

Punkt c)

Hvis 0<r<1 og man ser på f(B_r(0)) så ved vi altså, at størsteværdien stadig er f=0 nemlig for x=0.

Og ln(1-x²-y²) har mindsteværdien ln(1-r), nemlig når vi når til periferien af den lukkede kugle, dvs. der hvor x²+y²=r.

På den kugleperiferi, hvor ln(1-x²-y²) har sin mindsteværdi, har x² to steder størsteværdi, nemlig for y=0 så x²+y²=x²=r. Derfor er f's mindsteværdi r*ln(1-r).

Jeg påstår nu, at f(B_r(0))=[r*ln(1-r),0]. Bevis: Lad a være et tal i intervallet [r*ln(1-r),0]. Jeg vil nu vise, at der eksisterer (x,y) i f(B_r(0)), så f(x,y)=a. Dette gør jeg ved at se på (x,y) i kuglens periferi, således at ln(1-x²-y²)=ln(1-r). Alle f's værdier på periferien kan altså skrives på formen f(x²)=x²*ln(1-r) hvor 0=<x²=<r. Da dette er en kontiuneret funktion fra R til R defineret på et lukket interval [0,r] hvor f(r)=<a=<f(0), giver en af de der sætninger (mellemværdisætningen hedder den vist) at f antager værdien a i et eller andet punkt i intervallet.

Punkt d)

Ud fra ovenstående ses, idet ln(1-r)->-00 når r->1, at f(B1(0))=lim {r->1}[f(B_r(0))] = lim {r->1}[r*ln(1-r),0] = ]-00,0]

Angående opg. 369 formoder jeg du har helt ret... Har ikke regnet efter :)

Mange tak, det var sødt af dig ;)