Matematik

En kasse

14. april 2008 af Nyx84 (Slettet)

En kasse med kvadratisk bund med sidelængden x, målt i cm, og højden h, målt i cm, er lavet af et materiale A til siderne og et materiale B til låg og bund.
Prisen for materiale A er 2 kr. pr.cm3 og prisen for materiale B er 3 kr. pr.cm3
a)Opstil et regneudtryk for udgiften til materialeforbruget til kassen udtrykt ved x og h.

b) Prisen for materialerne til kassen må højst være 100 kr. Opstil et regneudtryk for h og kassend rumfang V(x) som funktion af x, når udgiften til materialeforbruget er 100 kr.

c)Bestem den værdi af x, der giver kassen det mindst mulige rumfang, når udgiften til materialeforbruget er 100 kr.

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. april 2008 af sigmund (Slettet)

Ad a) Arealet af låg og bund er 2*x², og af siderne er det 4*x*h. Udgiften til materiale A er således uA = 2*(4*x*h), mens udgiften til materiale B er uB = 3*(2*x²).

Ad b) For at få et regneudtryk for h, skal du opstille følgende ligning: udgiften til top og bund er uB = 3*(2*x²), og til siderne uA = 2*(4*x*h); tilsammen må den være højst 100 kr, hvilket giver anledning til ligningen uA + uB = 100, hvoraf h isoleres. Så er det "bare" at beregne volumen (du ved selvfølgelig hvad volumen af en kasse er).

Ad c) Her skal du minimere den volumenfunktion, du fandt i b).

Brugbart svar (4)

Svar #2
15. april 2008 af mathon

areal
4 sider: 4*h*x
låg + bund: 2*x^2

materialepris:
sider: (4*h*x)*2
låg + bund: (2*x^2)*3

samlet materialepris:
P(x,h) = 8*h*x + 6x^2

100 = 8*h*x + 6x^2, hvoraf
8*h*x = 100-6x^2 eller
4*h*x = 50-3x^2

h(x) = (100-6x^2)/(8x) = (50-3x^2)/(4x)

V = h*x^2 = (h*x)*x = (1/4)*(4h*x)*x, som ved substitution af
4*h*x = 50-3x^2
giver
V(x) = (1/4)*(50-3x^2)*x = 12,5x -(3/4)x^3

V(x) = -0,75x^3 + 12,5x

Brugbart svar (3)

Svar #3
15. april 2008 af mathon

c)Bestem den værdi af x, der giver kassen det mindst mulige rumfang, når udgiften til materialeforbruget er 100 kr.

skal formentlig være
c)Bestem den værdi af x, der giver kassen det STØRST mulige rumfang, når udgiften til materialeforbruget er 100 kr,

da
INGEN producent er interesseret i for 100 kr at få mindst mulig emballeringsmulighed!!!:-)

V'(x) = -2,25x^3 + 12,5

ekstremum kræver
V'(xo) = 0
dvs.
-2,25xo^3 + 12,5 = 0 og xo>0
hvoraf
xo = (12,5/2,25)^0,5 = 2,35702

monotoni: for x>0
for 00, hvorfor V(x) er monotont voksende
for x>2,35702 er V'(x)<0, hvorfor V(x) er monotont aftagende

V(x) har derfor maksimum for x = 2,35702

konklusion:
for en udgift på 100 kr til emballage opnås det størst opnåelige papkassevolumen med en kvadratisk bundflade på 2,36 cm x 2,36 cm

Brugbart svar (0)

Svar #4
15. april 2008 af mathon

"Prisen for materiale A er 2 kr. pr.cm3 og prisen for materiale B er 3 kr. pr.cm3"
-->
Prisen for materiale A er 2 kr. pr. cm^2 og prisen for materiale B er 3 kr. pr. cm^2

Svar #5
15. april 2008 af Nyx84 (Slettet)

Tak:-)

Brugbart svar (0)

Svar #6
16. april 2008 af LBoogie (Slettet)

Skal den differentierede ikke være V'(x) = -2,25x^2+12,25?

Brugbart svar (0)

Svar #7
16. april 2008 af LBoogie (Slettet)

Sorry V'(x) = -2,25x^2+12,5

Brugbart svar (0)

Svar #8
23. februar 2012 af FactFiction (Slettet)

#2
"areal
4 sider: 4*h*x
låg + bund: 2*x^2

materialepris:
sider: (4*h*x)*2
låg + bund: (2*x^2)*3

samlet materialepris:
P(x,h) = 8*h*x + 6x^2

100 = 8*h*x + 6x^2, hvoraf
8*h*x = 100-6x^2 eller
4*h*x = 50-3x^2

h(x) = (100-6x^2)/(8x) = (50-3x^2)/(4x)

V = h*x^2 = (h*x)*x = (1/4)*(4h*x)*x, som ved substitution af
4*h*x = 50-3x^2
giver
V(x) = (1/4)*(50-3x^2)*x = 12,5x -(3/4)x^3

V(x) = -0,75x^3 + 12,5x"

jeg tror ikke helt jeg er med på, hvorfor du V = h*x^2 = (h*x)*x = (1/4)*(4h*x)*x?

hvorfor ikke bare: V = x^2*h = x^2*((50-3x^2)/(4x))??

Skriv et svar til: En kasse

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.