Kontinuert funktion og egenskaber

4 siger (lidt anderledes formuleret) at f(0)<x mens f(1)>x. Dette giver intuitivt svaret...

Lidt mere formelt:

Der må findes et punkt, x₀, som er den mindste øvre grænse (supremum)  for alle x-værdier, for hvilke f(x)<x. Derfor er f(x)≥x i intervallet ]x₀,1]. Enten findes der et x i intervallet, hvor f(x)=x, eller også er x₀ samtidig største nedre grænse (infimum) for tal i intervallet ]x0,1]., hvor f(x)>x. Hvis f(x₀)>x₀ så kan funktionen ikke være kontinuert, da f(x)<x<x₀ vilkårligt tæt på x₀ fra venstre. På samme måde kan f(x₀)<x₀ ikke lade sig gøre, da f(x₀)>x₀ vilkårligt tæt på x₀ fra højre.

Gah, tak for forklaringen, jeg er dog ikke helt sikker på at jeg forstår den.

Helt konkret, hvis jeg forstår din forklaring (hvilket jeg tydeligvis ikke gør, så her kommer et dumt spørgsmål:)  burde der så ikke stå "<" eller ">" i svaret, og ikke lighedstegn?

Så uddyber jeg den intuitive version: hvis funktionen starter under linjen y=x og slutter over, og disse to punkter skal forbindes uden at løfte blyanten, så vil den skære et sted undervejs, så f(x)=x.

Ahh... okay. Der faldt tiøren :)

Jeg prøvede også at lave nogle skitser og endte med at gætte på 4'eren, men jeg ville aldrig kunne argumentere for det.