Matematik aflevering

311 Tegningen er så dårlig, at jeg ikke kan se hvad a er., men ellers.

Til højre nede ved tagrenden og op er der en retvinklet trekant(blåt skraveret) med den ene katete b. Denne trekant er ensvinklet med trekanten, der går fra tagrenden op til tagspidsen og derfra lodret ned. Det kan du benutte til at finde længden fra tagrenden ind til vinduet udtrykt ved b. Vinduesbredden er så 8 m-2*denne længde. Vinduesbredden gange b er så arealet udtrykt ved b. Dette areal skla du så maksimere.

312. Indlæg et passende koordinatsystem for eks. så x-koordinatener 0 i toppunktet. koordinatsystemet kan ellers lægges så toppunktet er i (0,0) i hvilket tilfælde parablens ligning er y=ax^2 eller også i vejbanen. Parametrene for parablen kan da findes ud fra det andet givne punkt. Derefter er det blot at udregne funktionsværdierne af parablen i de givne punkter.

313.

a) find toppunktet for parablen.

b) løs ligningen f(t)=0, t>0

c) Løs ligningen f(t)=5, t>0

 Opgave 311

Arealet af trekanten er A_t = 0.5 · 5 · 8, og arealet af rektanglen er A_r = a·b.

Det siger næsten sig selv, at vi skal komme frem til en andengradsligning, som vi kan finde et lokalt ekstrema på. Derfor er det en god idé, at prøve at udtrykke arealet af rektanglen alene ved a eller b.

Jeg skriver en måde her, som jeg ikke forklarer særlig grundigt, men hvis du tænker over tallene, kan du sikkert godt se, hvor de kommer fra. Og jeg er ikke sikker på, at det er den nemmeste måde.

A_t - A_r = 0.5·a(5-b) + 0.5·2·b((8-a)/2) (kig på tegningen og forstå hvorfor)

A_t - A_r = (5/2)a - (1/2)ab + 4b - (1/2)ab = (5/2)a - ab + 4b

A_t = (5/2)a - ab + 4b + ab = (5/2)a + 4b

A_t = (5/2)a + 4b = 20 ⇔ b = (-5/8)a + 5

Nu har vi udtrykt b ved a, så dette substitueres i A_r = ab

A_r = a((-5/8)a + 5) = (-5/8)a² + 5a

Her har du din andengradsligning, som du differentiere, og derved finder et maksimum. Herefter kan du nemt finde b, da vi jo allerede har udtrykt b ved a.