Differentiation - Husker ikke

1) Brug differentiation af sammensatte funktioner, og benyt at sqrt(x)=x^½ Din funktion differentieret bliver:

(2x-3)^½=2*½*(2x-3)^-½=1/sqrt(2x-3).. Reglen hedder: f(g(x)) ' = g'(x)*f'(g(x))

Det samme gør sig gældende i nummer 2 og 3..

Den sidste bliver:

(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x)) / g(x)²

Prøv selv så

Det svære ved differentiation af en sammensat funktion, som (fg)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x) ligger i at se, hvad det er, der sker. Prøv at tegne et kvadrat, kald den ene side for u og den anden side for v. Tilføj så et lille stykke til den ene side, så du får u+Δdu og et lille stykke til den anden side, så du får v+Δv. Det lille kvadrat hvor de to stykker mødes i firkanten hedder så Δu*Δv. Nu er det meningen, at du skal tegne det op for at forstå det fuldtud.

Vi får så (f*g)'(x) = Lim ((f(x+h)*g(x+h)-f(x)*g(x))/h = Lim (f(x+h)*g(x+h)-f(x)*g(x+h)+f(x)*g(x+h)-f(x)*g(x)/h =

Lim(f(x+h)-f(x))/h * g(x+h) + f(x)*(g(x+h) .g(x)/h= f'(x)*g(x) +f(x)*g'(x).

I det hele taget, beviserne er nødvendige for den fulde forståelse, men ikke nødvendigvis let forståelige.

f(x) = (g(x))ⁿ     

f '(x) = n*(g(x))^n-1*g'(x)       uanset om n er positiv eller negativ

.............

f(x) = (4x-1)³ = 3*(4x-1)²*(4x-1)' = 3*(4x-1)²*4 = 12(4x-1)²

f(x) = (1 + (1/x))²

f '(x) = 2(1 + (1/x))*(1 + (1/x))' = 2(1 + (1/x))*(0+(-1/x²)) = -(2/x²)(1 + (1/x)) = -2/x² - 2/x³

#3 Lyder meget simpelt. Men nu prøvede jeg lige med ((2x^4)-1)^3 Men syntes, det var ert svært.

Kan det passe den ska blive: (24x-3)^2*16x?

((2x⁴ - 1)³)' = 3*(2x⁴ - 1)^3-1*(2x⁴ - 1)' =

3(2x⁴ - 1)²*(4*2*x^3-1) = 3*(2x⁴ - 1)²*8x²  = 24x²*(2x⁴ - 1)²

ookay.. som forkortet giver: 96x^10 - 96x^6 + 24x^2 ikke sandt? (:

JO

Super. Så har jeg forstået (: ! Mange tak!