Volumen af beholder

du må have nogle y-grænser

V_y = 2π*_a^b∫x*f(x)dx        x ≥ 0

Det kommer an på, om du bruger cylindriske eller plane skiver. Du skal bruge det sidste, så er formlen V=2*pi*∫y*((k(y))²-(h(y))²⁾dy. x=h(y) og x=k(y). Så har du altså taget de inverse funktioner. Du kan også bruge følgende funktion V=2*pi*∫x*(g(x)-f(x))dx, hvor du integrerer fra x=a til x=b. Du skal huske, at grænserne ligger åsdan her: f(x)<y<g(x). Men prøv at tegne det op, du kan næsten ikke undvære en tegning her.

Det nemmeste er, at du gør sådan her: y=½*x² og så danner du den inverse funktionen (eller en del af den) f ^-1(x), x=√y, for x>0. Så bytter du rundt på x og y, så du får y=√x, det betyder i praksis, at du lægger figuren ned (se vedhæftede fil). Rumfanget bliver det samme, og så får du et simpelt udtryk, nemlig V=pi*∫2x dx. Så skal du bare sætte grænser ind, hvis du vil have rumfanget i tal

#1

Grænserne er vel bare fra den ene side af y-aksen, da grafen er symmetrisk? dvs. fra 0;1?

Men er det så den "indre volumen" eller den "ydre"? Fordi jeg skal have rumfanget af beholderen således at jeg kan bestemme indeholdet af vand i den!

Til Erik: Takker du:)

Der er kun et volumen LIm ∑pi*r²dx, du skal opfatte r som funktionen f(x) og pi*f(x)²dx som et volumenelement, du kan tegne det op. Der skelnes ikke mellem indre og ydre volumen, idet man regner beholderens væk for så tilpas tynd, at man kan se bort fra den.

i så fald er x-grænserne 0 og √(2)

V_y = 2π*₀^√(2)∫x*(1/2)x²dx = π*₀^√(2)∫x*x²)dx = π*₀^√(2)∫x³dx = (π/4)[x⁴]₀^√(2) =
(π/4)*4 = π

...eller

da dy/dx = x og dermed xdx = dy

V_y = 2π*₀¹∫x*f(x)dx = 2π*₀¹∫y*(xdx) = 2π*₀¹∫y*dy = π[y²]₀¹ = π*(1² - 0²) = π

Der findes jo to formler. Har fået at vide, at den ene er en snydeformel, da den angiver det omkringliggende volumen og ikke det indre.

Hvis jeg får en opgave om at bestemme omdrejningen omkring y-aksen, så er det bare direkte formlen:

Vy = 2π*ab∫x*f(x)dx x ≥ 0

???

mvh jansik:)