Matematik

2 hurtige til mundtlig eksamen

10. december 2004 af Veeand (Slettet)

To hurtige spørgsmål:

I forbindelse med stykkevis linearitet og sumkurve, har jeg læst følgende:

"Ved kummuleret frekvensfordeling kan F betegne betegne funktionen bestemt ved at f(x)= kummulerede frekvens af x."

Er der ikke nogen der er sød, at forklare mig ovenstående?

2. spørgsmål er angående bevis af hhv lineær og eksp. vækst.

Strukturelt set mener jeg at bestemmelse af lineær vækst og bestemmelsen/beviset af a er det samme.
Så er det egentlig det samme, blot to forsk. emner?

Tusind tak til jer som vil give feedback, jeg værdsætter det virkelig

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. december 2004 af sigmund (Slettet)

ad 1)
Hvis du har en række tal fra et eksperiment, kan du optegne en kurve, der viser en frekvensfordeling, dvs. hvor hyppigt et givet tal optræder i eksperimentet. Til gengæld kan du også optegne en kurve, der viser den kumulerede frekvens, dvs. den summerede frekvens. Denne kurve repræsenterer så en funktion f, hvor f(x) er den kumulerede frekvens for en given x-værdi, dvs. et givet tal i eksperimentet. For eksempel kan du måle højden af 100 personer. Du har nu 100 tal, hvor det samme tal sandsynligvis optræder flere gange. Nu kan du så beregne frekvensen af hvert af de 100 tal, og optegne en kurve over frekvensen, såvel som den kumulerede frekvens. Denne kurve repræsenterer så en funktion f, hvor f(x) er den kumulerede frekvens til en given højde. Hvis du fx har fundet, at den kumulerede frekvens ved højden 180 cm er 80%, så er 80% af personerne mindre end eller lig 180 cm høje. Giver udsagnet nu mening?

ad 2)
Her må du uddybe mere, hvad det er du mener.

Svar #2
10. december 2004 af Veeand (Slettet)

Ej tusind tusind tak.

Nu giver det da fuldstændig mening!

ad 2 vil jeg gerne uddybbe:

beviset for lineær vækst ser således ud:

f(x+h) - f(x), da vi må fratrække vores gamle funktionsværdi fra den nye, for at opnå den søgte ændring i y-værdi. Netop fordi hældningskoefficienten angiver den ændring y medfører, når x øges med 1.

så vi får: (a(x+h)+b) - (ax+b), og til slut får: vi a * h.

Men hvad er det helt præcist man har fundet ud af?

Brugbart svar (0)

Svar #3
10. december 2004 af sigmund (Slettet)

Vi tager udgangspunkt i en x-værdi x0. Funktionsværdien er her y0 = a*x0+b. Så bevæger vi os et stykke h hen ad x-aksen. Den nye funktionsværdi er så y1 = a*(x0+h)+b. Hældningskoefficienten a er netop er værdi, vi skal gange ændringen i x, kaldt h, med for at få ændringen i y. Nu finder vi så ændringen i y: y1-y0=a*(x0+h)+b-(a*x0+b)=a*h => a = (y1-y0)/h. Dvs. at hældningskoefficienten er givet ved ændringen i y divideret med h, som er ændringen i x: a = (y1-y0)/(x1-x0), som er det velkendte udtryk for hældningen af en ret linie.

Svar #4
10. december 2004 af Veeand (Slettet)

Jamen tusind tak altså.
Du agerer som pæren der går op for mig.

Så i bund og grund er der ingen forskel på den alm. hældning ved ret linje, og hældningen givet ved konkret bevis af lineær vækst?

Når du siger, at a skal ganges med ændringen i x eller h, for at få ændringen i y, mener du så:

F(x+1) = f(x) + a

Brugbart svar (0)

Svar #5
10. december 2004 af sigmund (Slettet)

Nej, jeg mener at f(x+h)=f(x)+a*h, eller f(x1)=f(x0)+a*h. Et eksempel: En ret linie har forskriften f(x)=2*x+1. f(1) vil så være f(1)=2*1+1=3, og f(1.1) er følgelig f(1.1)=3+a*h=3+2*0.1=3.2. Forstår du nu, hvad det er jeg mener?

Svar #6
10. december 2004 af Veeand (Slettet)

Nå okay, så det helt korrekte, vil være at sige:

f(x+1) = f(x)+a*x.

men i tilfældet med lineær vækst, har vi altså

f(x+1) = f(x)+a*h?

håber jeg har fat i det nu

Brugbart svar (0)

Svar #7
10. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#6: Det er ikke helt korrekt. Sådan her:

f(x+h) = f(x) + a*h

for et h>0. Ansættes h=1, får man

f(x+1) = f(x) + a

//Singularity

Svar #8
10. december 2004 af Veeand (Slettet)

men er h ikke altid over 0, med mindre andet bliver angivet?

kan du måske komme med et eksempel?

Svar #9
10. december 2004 af Veeand (Slettet)

ville man i al almindelighed, kunne sige, at for at få den nye funktionsværdi, må vi dertil lægge a til vores gl. funktionsværdi:

f(x+1) = f(x)+a.

hvad skal tilføjes?

og hvad er tilfældet så ved eksponentiel vækst?

Brugbart svar (0)

Svar #10
10. december 2004 af Epsilon (Slettet)

#9: Der skal ikke tilføjes noget her:

f(x+1) = f(x)+a

når det drejer sig om LINEÆR vækst.

Differenskvotienten

(f(x+h)-f(x))/h = ((a(x+h)+b)-(ax+b))/h = a

for et h forskelligt fra 0 giver

f(x+h) = f(x) + a*h

Hvis h=1, fås

f(x+1) = f(x) + a

Ved EKSPONENTIEL vækst har vi funktioner på formen

g(x) = b*a^(x)

hvor b>0, a>1 og x E R. Lad h>0 og betragt, for x0 og x1=x0+h

g(x0) = b*a^(x0)

g(x1) = g(x0+h) = b*a^(x0+h) = b*a^(x0)*a^(h)

og dermed

g(x0+h)-g(x0) = b*a^(x0)(a^(h)-1)

//Singularity

Svar #11
10. december 2004 af Veeand (Slettet)

Vores lærer brugte differenskvotienten i forbindelse med lineær VÆKST.
Hvad viser at f(x)=a*h så i modsætning til det almindelige f(x)= a?

og ved eksponentiel vækst, for jeg tilvæksten til:

a^h-1.
Men findes r i eksponentiel vækst, ikke sædvanligvis ved: r=a-1

Det er bare disse to ting jeg skal have helt styr, og det er dem, som volder mest besvær.

mange tak for tålmodigheden

Svar #12
11. december 2004 af Veeand (Slettet)

Nej nu er jeg søreme så helt med.

Mange mange tak.

Det sidste du viste ved eksponentiel vækst: Hvad betydning har a^h-1?

Skriv et svar til: 2 hurtige til mundtlig eksamen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.