Matematik
differentialligning rigtigt udført??
dy/dx = y((1/x)+x) , hvor x > 0 og y > 0
jeg skal så:
a) bestemme den løsning y = f(x), hvis graf går gennem punktet P(1,1).
b) bestemme en ligning for den rette linie, der tangerer grafen for f i P(1,1).
jeg har løst opgaverne, og har fundet frem til følgende opgaver, men jeg er i tvivl om det er rigtigt. Hvis det ikke er rigtigt, ville det være et ekstra plus hvis i kunne fortælle mig hvor fejlen er, og evt. rette fejlen. På forhånd tak.
a) dy/dx = y((1/x) + x) <=>
dy/y = ((1/x) + x)dx =>
S((1/y)dy) = S(((1/x) + x)dx)
ln(y) = (ln(x) + (x^2/2)) + k
ln(1) = (ln(1) + (1^2/2)) + k <=>
-k = ln(1) + (1^2/2) <=>
-k = 0,5 <=>
k = -0,5
ln(y) = (ln(x) + (x^2/2)) - 0,5 <=>
ln(y) = (ln(x) + (1/2)x^2) - 0,5 <=>
e^(ln(y)) = e^((ln(x) + (1/2)x^2) - 0,5)
<=>
y = (x + (1/2)x^2) - 0,5 <=>
y = -(1/2)x - (1/4)x^2
----------------------
----------------------
b) tangentens hældning i P(1,1):
hældning = 1((1/1) + 1) = 2 =>
tangentens ligning bliver:
y - y0 = alpha(x - x0) <=>
y - 1 = 2(x - 1) <=>
y - 1 = 2x - 2 <=>
y = 2x - 1
----------
----------
Sådan... jeg tror det er rigtigt, men som sagt er jeg i tvivl. På forhånd tak :)
- MaTay
Svar #1
07. februar 2005 af Duffy
ln(y) = (ln(x) + (x^2/2)) + k
y = e^[(ln(x) + (x^2/2)) + k ]
y = e^(ln(x)) * e^(x^2/2)) * e^k
y = x * e^(x^2/2)) * e^k
Duffy
Svar #2
07. februar 2005 af Duffy
1 = 1 * e^(1^2/2)) * e^k
1 = e^(1/2) * e^k
e^(-1/2) = e^k
dvs
y = x * e^(x^2/2)) * e^(-1/2)
y = x*e^(1/2*(x-1)*(x+1))
Duffy
Svar #3
07. februar 2005 af Epsilon (Slettet)
a) Det er næsten korrekt, men du begår en fejl, når du skal eksponentiere højresiden her:
e^(ln(y)) = e^((ln(x) + (1/2)x^2) - 0,5) <=>
y = (x + (1/2)x^2) - 0,5
Man eksponentierer summen således;
e^((ln(x) + (1/2)x^2) - 0,5) = x*e^((1/2)x^2 - 0.5)
Det er én af potensregnereglerne. Så den søgte løsning er i stedet
y = x*e^((1/2)x^2 - 1/2) (1)
Bemærk, at denne opfylder, at
y(1) = 1*e^(1/2*1^2 - 1/2) = 1
som viser, at integralkurven indeholder tangentpunktet P(1,1).
Det er altid en god ide, at tjekke, om funktionen rent faktisk også ER en løsning;
dy/dx = e^((1/2)x^2 - 1/2) + (x^2)*e^((1/2)x^2 - 1/2) = [x*e^((1/2)x^2 - 1/2)]*[1/x + x] = y*(1/x + x)
Det passer med differentialligningen.
b) er fuldstændig korrekt besvaret.
//Singularity
Svar #4
07. februar 2005 af MaTay (Slettet)
Skriv et svar til: differentialligning rigtigt udført??
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.