Areal af område - hjælp

Arealet A(x) = 2x*y, og 2*x+y = 60, find x af ligning 2 og indsæt udtrykket i ligning 1, dernæste skal du differentiere og finde størsteværdien

hvordan gør jeg det ,s ?

I ligning 2 er y=60-2x, det indsætter vi i ligning 1, så vi får A(x)=2x*(60-2x), så er A ' (x) = 120-8x, der lig 0 giver x=15, så er y altså 60-2*15=30

Denne opgave kører igen og igen her på portalen.

Arealet er nu ikke 2x*y, som anført i #1.

Kald længden af hver af de to sider for x, og længden af siden ved åen for y. Den halve åside er da katete i en retvinklet trekant, hvor den anden katete er trekantens højde h, og hypotenusen er x. Altså (1/2 y)² + h² = x² , eller

h² = x² - 1/4 y² = (x+1/2y)(x-1/2y) . Så arealet er

A = 1/2 y h = 1/2 y √(x² - 1/4 y²) .

Simplest er det nok at bruge Herons formel for arealet af trekanten :

A² = s(s-a)(s-b)(s-c) , hvor s er den halve omkreds, og a, b, c er de tre sidelængder. Med s = 30, og a = b = x, og c = y = 60-2x, fås

A² = 30(30-x)²(2x-30) , og vi finder

2A dA/dx = -60(30-x)(2x-30) + 60(30-x)² . Løser vi ligningen 2A dA/dx = 0, får vi

2x-30 = 30-x, eller x = 20. Trekanten er altså ligesidet, x = y = 20. Det største areal er er da

A = √(30(30-20)²(40-30)) = √(30•10•10•10) = 100√3

Jeg læste det for et rektangel, for det kom automatisk, da vi jo har haft det så mange gange. Men man kan måske alligevel bruge det, jeg skrev alligevel, hvis den ene side (grundlinien i trekanten) udgøres af en å, hvor arealet af trekanten er ½h*g, og sætter vi ½h = 2x og g = y, så bliver arealet 2xy, som jeg skrev. Jeg synes det ser lidt for indviklet ud at bruge Herons formel her. Arealet er som sagt bare ½*højden*grundlinien. x=15 → ½h=30 → h=60, og y=60-2*15=30

#5

Hvordan får du 1/2 h = 2x ?Jeg formoder, at det er de to lige store sider, du kalder x? Som vist i #4 er trekanten med maksimalt areal ligesidet, og altså x = y = 20.

men hvad bliver arealet så ? skal man ikke regne det ud ?

Arealet skrev jeg til sidst i #4. A = 100√3 .

er det så bare resultatet ?