Integration ved substitution / partiel integration

#0: Partiel integration skal du bruge, når du skal integrere et produkt af to funktioner, der hver især er integrable.

Integration ved substitution skal du bruge, når du skal integrere en funktion, der umiddelbart ikke kan integreres - ved kløgtigt variabelskift kan funktionen findes på en form, der kan integreres.

Partiel integration er rimelig ligetil, men integration ved substitution er en kunst.

Prøv at skrive nogle af opgaverne ind sammen med dit bud på, hvilken metode du skal bruge (lad i første omgang være med at løse opgaverne). Husk at prøve uden lommeregner. :)

∫²₀(x+1)(x²+2x+2)dx     <--- gættede på partiel men kommer frem til 8 hvor det vist skal give 20. Bruger skam kun lommeregner til at tjekke om jeg har regnet rigtig og indtil videre har jeg ikke ramt en eneste korrekt =/

∫3sin(x+2) dx       <--- substitution? t= x+2?

∫cos x√2sinx dx    <---- subsitution med t= 2 sin(x)

∫²⁰₁ln(x) dx = [x*lnx-x]²⁰₁     ??

∫³₁ln(x)*x²dx  <--- aner det ikke! partiel højst sandsynligt..

#2:

1) Partiel, ja.

2) Substitution med t=x+2, ja.

3) Tag kvadratrodstegnet udenfor parantes og brug substitution t=sin(x).

4) Partiel, ja.

Du kan jo godt selv. :)

1) nu prøver jeg at regne igen, for som nævnt tidligere får jeg 8 og det skal give 24 =/

3) hvis du sætter t= sin(x), hvad er så f(x)? cos(x)?

1) nu prøver jeg at regne igen,

∫20(x+1) (x2+2x+2) = [(0.5x2+x)(x2+2x+2]20 - ∫20 (x+1)(2x+2)dx = [(0.5x2+x)(x2+2x+2)]20 - [(0.5x2+x)(x2+2x)]20

så sætter jeg grænserne ind istedet for x og jeg får:

40-32 = 8

Lommeregneren får det til 24 =/
 

  ₀∫²(x+1)(x²+2x+2)dx

  se
 

hvorfor har du valgt at g(x) = x+1 og f(x) = (x²+2x+2)

er der en regel for det?

∫3sin(x+2)dx

se

  ₁∫³ln(x)·x²dx

  se

#6 fås lettere ved at gange ind

  ₀∫²(x+1)(x²+2x+2)dx

   ∫(x+1)(x²+2x+2)dx = ∫(x³+2x²+2x+x²+2x+2)dx = ∫(x³+3x²+4x+2)dx = (1/4)x⁴+x³+2x²+2x+k
 

  ₀∫²(x+1)(x²+2x+2)dx = [(1/4)x⁴+x³+2x²+2x]₀² = (1/4)·2⁴+2³+2·2²+2·2 = 4+8+8+4 = 24

#7
af bekvemmelighedsgrunde        (x+1)' = 1 hvilket er bekvemt

#9 forstår jeg slet ikke.... du regner dig frem til fjernelse af intergraltegnet og så sætte du nye intergral på som du også regner væk?? farede fuldstændig vild halvvejes.. men super godt svar de andre

sådan foregår partiel integration jo netop:

                  ∫f(x)·g(x)dx = F(x)·g(x) - ∫F(x)·g'(x)dx

som er
             den ene funktion integreret gange den anden funktion urørt
minus   integralet af den fundne stamfunktion urørt gange den anden funktion differentieret

..................

           ∫x²dx = (1/3)·x³          (uden konstant)

           ln'(x) = 1/x = x^-1