Beregning af nulpunkt og ekstrem- Haster!

Nulpunkter finder du ved at løse f(x)=0 og lokale ekstrema ved at løse f '(x)=0 og derefter lave fortegnsanalyse omkring punkterne for at sikre at der er tale om et maksimum eller minimum og ikke en vendetangent..

Ja

        nulpunkt(er)
                                        for       f(x) = 0

        ekstremapunkter
                                        for       f '(x) = 0   samt undersøgelse af monotoniforhold
 

Ok, dvs. at med nulpunkterne skal jeg læse f(x)=o , finde a,b,c, og derefter diskriminanten. Og så sætte det hele ind i nulpunkts formlen: x=-b+-(kvadratrod)d / 2a

og så får jeg de to nulpunkter.
Har jeg forstået det rigtigt?

Og ved ekstrempunkterne: skal jeg løse f'(x) . Dvs jeg skal dobbeltmærke den?

Og derefter en fortegnsanalyse? 

 #3 - Det afhænger jo af om du snakker om andengradspolynomier.

For 2. grads polynomier så finder du nulpunkterne ved  x= -b+-√d /2a   som du selv siger, men det gælder jo KUN 2.grads polynomier.

Og nej du skal ikke "dobbeltmærke" den.

Okay. Tak,

Men nej det er ikke et andengradspolynomium, men en tredjegrads.

Hvad kan jeg så gøre?

Hjælp

På forhånd tak 

#5

Er det et specielt 3.-gradspolynomium, du betragter? Hvis konstantleddet er 0, er x=0 en rod i polynomiet, og ved hjælp af nulreglen for et produkt kan ligningen reduceres til en 2.-gradsligning.

Rødderne i det generelle 3.-gradspolynomium kan findes ved brug af nogle ret komplicerede formler, der involverer komplekse tal.

#6

Den lyder sådan:

f(x)=x^3-4x^2-11x+30

#7

Her ser man, med lidt gætteri og fordi produktet af de tre rødder skal være -30, at -3 er en rod i polynomiet. Vi kan derfor skrive

f(x) = x³ - 4x² - 11x + 30 = (x+3)(x² - 7x + 10) .

Ligningen f(x) = 0 reduceres da ved hjælp af nulreglen for et produkt til

x+3 = 0 eller x² - 7x + 10 = 0 .

Den sidste ligning har klart rødderne x = 2 og x = 5 , og den første ligning har roden x = -3 .

Lige hurtig for at spørge : Hvor kom -30 og -3 fra?

Og denne metode er til at beregne nulpunkterne ikke? 

#9

Konstantleddet i det oprindelige 3.-gradspolynomium er 30. I et 3.-gradspolynomium gælder der, at produktet af de 3 rødder er minus konstantleddet, så r₁·r₂·r₃ = -30 . Så så jeg på hvilke hele tal, der går op i 30 og prøvede efter, om 3 eller -3 skulle være en rod, og det viste sig, at -3 er en rod i polynomiet.

Ja, indlægget drejede sig her om at finde rødderne i polynomiet.

Okay, tak skal du have.

Kan du hjælpe med nulpunkterne og ekstrempunkterne indenfor 3-gradspolynomier? 

For det er dem, der driller mig.

På forhånd tak.

-Sasja Jensen

#1

Jo, du er da velkommen til at forespørge om andre polynomier.

Nulpunkterne for et 3.-gradspolynomium findes ofte ved at gætte en af rødderne og så løse det resulterende 2.-gradspolynomium ved den sædvanlige løsningsformel for 2.-gradspolynomier.

Ekstremalpunkterne findes ved at løse ligningen f'(x) = 0. Hvis f(x) er et 3.-gradspolynomium, er differentialkvotienten f'(x) jo et polynomium af grad højst 2, så ligningen f'(x) = 0 skulle ikke volde nogen problemer.

Dvs, med nulpunkterne kan  jeg starte som du forklarede. Det med de 3 rødder, og derefter løse den ved at bruge formlen: x= -b+-√d /2a

Ekstramapunkterne:

f(x) = x^3 - 4x^2 - 11x + 30 

f'(x) = 3x^2 - 8x - 11

3x-^2-8x-11=0

Er jeg godt på vej?

Ja, det går den rigtige vej. Måske du kan se, at x = -1 er rod i den sidste ligning?

Ekstramapunkterne:

f(x) = x^3 - 4x^2 - 11x + 30

f'(x) = 3x^2 - 8x - 11

3x^2-8x-11=0 <---(0-reglen, ikke sandt?)

Opdeler den i to:

3x^2=0

-8x-11=0

Eller nu er jeg ved at rode i det igen,.

For på skitsen, der skærer grafen x-aksen 3 gange.

#15

Du skal løse ligningen

3x² - 8x -11 = 0

Det er en 2.-gradsligning. Du kan ikke begynde at blande nul-reglen for et produkt ind, før du har et produkt.

Beregn først diskriminanten for 2-gradsligningen og brug så formlen for rødderne i 2-gradsligningen.

3x^2 - 8x -11 = 0

a=6

b=-8

c=-11

d=b^2-4ac=(-8)^2-4*6*-11=328

x= -b+-√d /2a=-(-8)+-328/12=

x1= 9,51

x2:= 6,49 

Rigtigt regnet ud?

#17

Det er ikke rigtigt. Vi får

a = 3
b = -8
c = -11

d = b² - 4ac = (-8)² -4·3·(-11) = 64 + 132 = 196 = 14² , så

x = (8±14)/6 ⇒ x = -1 eller x = 11/3 .

Jeg antydede i #14, at x = -1 er en rod .

Vil det side at -1 er en af nulpunkterne? 

#19

Ja, -1 er et af nulpunkterne for f'(x) . Vi finder nulpunkterne for f'(x) for at finde ekstremalpunkterne for den oprindelige funktion f(x).