Matematik
Integration ved substitution
Jeg har problemer med to opgaver. Jeg ved ikke helt hvordan jeg skal komme videre.
Opgave 1. Vis, at det uegentlige integral "∫-∞∞ exp(- | x |) dx" er konvergent, og bestem dets værdi.
Jeg ville tro, at -|x|=x og integralet af exp(x)=exp(x). Men det er da ikke konvergent. Vel? Jeg tror jeg har misforstået noget i den opgave.
Opgave 2. Vis, at for ethvert reelt tal p>1 er det uegentlige integral "∫e∞ 1/(x*ln(x)^p) dx" konvergent, og bestem dets værdi.
Når jeg substituerer med substitutionen t=ln(x) og differentierer (dt/dx=1/x <=> dx=x*dt), så får jeg:
"∫e∞ 1/t^p dt"
Jeg kan jo ikke finde stamfunktionen til 1/t^p mht. t. Hvordan er det jeg skal gøre for at vise, at det er konvergent for alle p>1?
Svar #1
15. november 2010 af peter lind
Opgave 1 Der gælder at for x < 0 er |x| = -x så omskriv integralet til ∫-∞∞e-|x|dx = ∫-∞0e-|x|dx + ∫0∞e-|x|dx = ∫-∞0exdx + ∫0∞e-xdx
Opgave 2 1/tp = t-p brug dernæst at xn+1/n+1 er en stamfunktion til xn for n≠1
Svar #2
15. november 2010 af peter lind
Jeg har glemt et par parenteser i den sidste linje. Der skal stå xn+1/(n+1)
Svar #3
15. november 2010 af magnuspersson (Slettet)
Tak for hjælpen. Jeg går bare stadig lidt i stå i det videre forløb.
Opgave 1:
Jeg kan godt forstå hvordan du har brugt indskudssætningen, men jeg ved ikke hvordan jeg regner de to integraler ud når en af grænserne er uendelig. Jeg kan på min lommeregner se, at hvert af integralerne er lig 1, og at det til sammen er lig 2, men jeg ved ikke hvorfor de er lig 1.
Opgave 2:
Jeg får så:
[t^(1-p)/(1-p)]e∞
Hvilken værdi kan jeg skrive? Og jeg må jo ikke sætte ∞ ind på t's plads (∞^(1-p)/(1-p) - e^(1-p)/(1-p)), så jeg ved ikke hvordan jeg kommer nærmere. Jeg ved ikke hvordan man besvarer spørgsmål som: "vis, at for erhvert tal ..."
Svar #4
15. november 2010 af Andersen11 (Slettet)
I opg 2 skal grænserne ændres ved substitutionen, til 1 til ∞ . Benyt, at t-q → 0 for t → ∞ , q > 1 .
Svar #5
15. november 2010 af peter lind
opgave 1: Hvis du bruger substitution på det første integral t = -x dt -dx vil det første integral gå over i ∫0∞e-xdx altså det samme som det andet integral. Det kan du også se ud fra en symmetribetragtning. Du erstatter den øverste grænse med et stort tal R, finder integralet og lader dernæst R ->∞. Det sidste skal du også gøre i den anden opgave.
Svar #6
15. november 2010 af magnuspersson (Slettet)
Hvordan skriver man det i en besvarelse? Jeg har virkelig svært ved at arbejde med uendelighedstegnet.
Svar #7
15. november 2010 af peter lind
Du skriver udregningerne for ∫0Rf(x)dx = ... og slutter med -> "grænseværdien" for R -> ∞
Skriv et svar til: Integration ved substitution
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.