Firkantens gåde

Den kan du sagtens finde.

Ok, tak.

Hvordan?

Oli

 skitse med mål ?

 du kan dele firkanten op i trekanter.

Og så kan du bruge din viden fra trigonometri til at bestemme alle oplysningerne. Prøv at tegn det.

Hvis de to rette vinkler ligger ved siden af hinanden, kan det ikke lade sig gøre generelt.

Hvis de to rette vinkler ligger over for hinanden, kan firkanten indskrives i en cirkel, og den ene diagonal bliver diameter i cirklen. Denne diagonal deler da firkanten i to retvinklede trekanter. Da summen af de to spidse vinkler i den ene trekant er 90º, og tilsvarende for de to spidse vinkler i den anden trekant, og vi kender de to vinkler i firkanten, er der tilstrækkeligt information til at bestemme de spidse vinkler i de to retvinklede trekanter. Da vi kender den ene side i en af trekanterne, der er retvinklet, kan vi bestemme de to andre sider og dermed også hypotenusen i den anden retvinklede trekant, hvorved de to resterende sider kan bestemmes.

Problemet er opstået som følge af en kegleberegning.

I en omvendt kegle, altså en tragt, hældes noget vædske. Højde og radius er kendte og dermed også volumen og areal. Nu lukkes noget vand ud af tragten til en ønsket volumen er tilbage. Jeg kender altså den nye volumen, men mangler nu den nye højde og den nye radius. Det er den nye højde, jeg skal finde.

Så var der én, der foreslog at betragte den "tomme" del af tragten, som nu er en keglestub, ligeledes med en kendt volumen (hele keglens volume minus volumen på den tilbageværende mængde vædske), men også her mangler jeg højde og den lille radius.

Derfor forsøgte jeg mig med at lave keglestubben om til en firkant med to rette vinkler og to bekendte vinkler (der jo kunne regnes ud fra den oprindelige kegle) og en bekendt side, nemlig den oprindelige radius.

Jeg ved ikke, hvordan jeg skal tegne skitse af det her, så jeg håber, det er forklaret tilstrækkeligt.

Det, jeg skal finde, er højden på vandstanden i en omvendt kegle ved en given volumen....

Oli

#6

Det er da vist at gå over åen efter vand.

Du skal se på ensvinklede trekanter.

Lad R og H være radius og højde i keglen med rumfang V og lad r og h være radius og højde i keglen med rumfang v.

Der gælder så R/H = r/h og

V = (π/3)R²H og v = (π/3)r²h

Vi har så at

r = (R/H)h og dermed

v = (π/3)(R/H)²h³ og dermed

h = [(3v/π)(H/R)²]^1/3 og

r = (R/H)h

Jeg tænkte nok, at den lå lige til højrebenet. Har fået set mig komplet blind på det og blev vist forvildet ind i en skov af meget indviklede ligninger med alt for mange ubekendte.

Tusind tak for hjælpen

Oli