Integration ved substitution

               ∫-sin(1/x)·(-1/x²)dx = -∫sin(1/x) d(1/x) = cos(1/x) + k

 u = cos(1/x)

du = sin(1/x) / x^2 dx

∫ sin(1/x))/(x^2) dx = ∫ 1 du = u + C

 Kunne der ikke komme lidt forklaring til? Ville virkelig være en hjælp.

for hvad er det der skal være g(t) og hvad er det der skal være f(t)

#3

Du kan måske se, at f(x) er den indre funktion 1/x , og g(x) = sin(x) ? Så er f'(x) = -1/x²

 #4

Ja det kan jeg også, så har man ∫g(f(t)) f'(t) dt som er ∫sin(1/t) · 1/t^2 dt som jo præcis er det sammen som jeg skal løse. Så kan bare ikke se meningen i det.

#5

Ja, og så skal du jo udnytte højresiden i dit eget udtryk i #0 :

∫ g(f(t)) f'(t) dt = ∫ g(x) dx = ∫ g(f(t)) d(f(t))

Derved fås så

∫ sin(1/t)/t² dt = -∫ sin(x) dx = cos(x) + k = cos(1/t) + k

 når F(y) er en stamfunktion til f(y)
 gælder:

                     (F(g(x)) ' = f(g(x)·g '(x)
hvoraf
                     ∫ f(g(x)·g '(x) dx = ∫ f(g(x)) d(g(x)) = F(g(x)) + k

 t = cos(x^-1)

dt / dx = sin(x^-1) * x^-2 = sin(1/x) / x^2       <--- regel for sammensattefunktioner.

dt = sin(1/x) / x^2 dx

∫sin(1/x) / x^2 dx = ∫ dt                                <--- substitution af dt = sin(1/x) / x^2 dx

∫ dt = t + C      - substituer selv  t = cos(x^-1)

Det er mere et algebra problem end et integrale problem når man tænker over det.

kort
                (1/x) = u                       x≠0

                du/dx = -(1/x²) 

                (1/x²)dx = -du
hvoraf
                ∫(sin(1/x)) / (x²)dx =  ∫sin(1/x)·(1/x²)dx = ∫ sin(u)·(-du) = ∫-sin(u)du = cos(u) + k = cos(1/x) + k

Det er forståeligt nu :) 

 Mange tak for hjælpen :)