Integration

Ja, det kan det.

Integranden kan skrives

[5·(1/cos(θ) + 2cos(θ)² -1)]² ,

så man skal finde stamfunktioner til cos(θ)⁴ , cos(θ)², cos(θ), 1/cos(θ) og 1/cos(θ)² , der alle kan slås op i en integralsamling.

#1

Kan man ikke bruge substitutionsmetoden for at integrere sådan noget som cos(θ)⁴?

Man kan omskrive cos(x)⁴ således

cos(x)⁴ = (cos(x)²)² = ((1+cos(2x))/2)² = (1/4)(1 + 2cos(2x) + cos(2x)²)

             = (1/4)(1 + 2cos(2x) + (cos(4x)+1)/2)

             = (3/8) + (1/2)cos(2x) + (1/8)cos(4x)

som let kan integreres

#3

Ok. Jeg har prøvet lidt af hvert, men ender med at jeg får noget helt andet ud af det. Har også samlet regnestykket sammen til: 1/2 · ₀∫^π/3 ( (5/cos(θ) + 5cos(2θ))² ) dθ

Vil denne omskrivning lede mig frem til en "nemmere" løsningsmetode?

#4

Måske, for du har færre led at rode galt med.

#5

Jeg prøver forgæves. Har du tid til at kigge på den?

#6

Vi har

I = (25/2)·₀∫^π/3 (1/cos(x) + 2cos(x)² -1)² dx

  = (25/2)·₀∫^π/3 (1/cos(x)² + 4cos(x)⁴ +1 +4cos(x) -2/cos(x) -4cos(x)²) dx

  = (25/2)·[tan(x) + 3x/2 + sin(2x) +sin(4x)/4 +x + 4sin(x) -ln((1+sin(x))/(1-sin(x))) -2x -sin(2x)]^π/3₀

  = (25/2)·[tan(x) +x/2 +4sin(x) + sin(4x)/4 -ln((1+sin(x))/(1-sin(x))) ]^π/3₀

  = (25/2)·((√3) + π/6 +2(√3) -(√3)/8 -2·ln(2+√3))

  = (25/2)·( 23(√3)/8 + π/6 -2·ln(2+√3)) ≈ 35,86661

Der kan godt have smuttet en konstant i alt dette, så tjek det efter selv.

#7

Hvad har du lavet i første linie? Tager du egentlig udgangspunkt i #4 eller i #0?

#8

Jeg tager udgangspunkt i #1.

#9

Nu er jeg slet ikke med. Du tager altså udgangspunkt i #1, dvs. dit eget svar, hvor du giver, hvad integranden er?

#10

Ja, netop. Og så går jeg i gang med at integrere integranden.

#11

Et dumt spørgsmål: hvordan kommer du så frem til selve integranden?

Rettelse til #7

Der er en fejl i 3. linie i #7. Det skal være

= (25/2)·[tan(x) + 3x/2 + sin(2x) +sin(4x)/8 +x + 4sin(x) -ln((1+sin(x))/(1-sin(x))) -2x -sin(2x)]^π/3₀

= (25/2)·[tan(x) +x/2 +4sin(x) + sin(4x)/8 -ln((1+sin(x))/(1-sin(x))) ]^π/3₀

= (25/2)·((√3) + π/6 +2(√3) -(√3)/16 -2·ln(2+√3))

= (25/2)·( 47(√3)/16 + π/6 -2·ln(2+√3)) ≈ 37,21978

Det stemmer vist med resultatet i #0

#12

Du har (pånær faktoren 25)

1/cos(x)² + cos(2x)² + 2cos(2x)/cos(x)

= (1/cos(x) + cos(2x))²

= (1/cos(x) + 2cos(x)² -1)² ,

idet, som bekendt, cos(2x) = cos(x)² - sin(x)² = 2cos(x)² -1

#14

Ah, nu forstår jeg. Jeg prøver lige at komme igennem. Tak for tålmodigheden indtil videre. :-)

#15

Der er ikke tale om at fjerne noget fra ligningen. Jeg undlod faktoren 25 for overskuelighedens skyld. Det drejede sig her om at vise, hvorledes integranden i #1 hang sammen med din integrand i #0. I stedet for at klistre en faktor 25 på hvert eneste led, skrev jeg så pånær faktoren 25 før udregningen. Du kan vel nok selv finde ud af at gange hvert led med en triviel konstant.

Som du måske kan se, er faktoren 25 sat uden for integralet i #7 og #13.

#16

Jo jo. Jeg redigerede også min kommentar, da jeg gennemskuede tricket.

#16

Jeg faldt lidt fra i linie 3.

Har du selv fundet integralerne for de enkelte led, eller har du slået dem op i formelsamling?

#18

Jeg slog dem op. Du kan jo eftervise dem ved at differentiere tilbage. Man har (med udeladelse af en arbitrær integrationskonstant)

∫ 1/cos(x)² dx = tan(x)

∫ cos(x)⁴ dx = 3x/8 + sin(2x)/4 + sin(4x)/32

∫ 1 dx = x

∫ cos(x) dx = sin(x)

∫ 1/cos(x) dx = (1/2)·ln((1+sin(x))/(1-sin(x)))

∫ cos(x)² dx = x/2 + sin(2x)/4

#19

Tak. Så kom jeg endelig helskindet igennem! :-)