Matematik

Cirkler - Vektorer i planen

02. april 2014 af Kemi1996 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg har problemer med at løse denne opg.

I et koordinatsystem med begyndelsespunkt O er der givet en cirkel c med centrum i C(a,0), hvor a > 0, og radius r.

a) Hvad er betingelsen for, at cirklen har to tangenter som går gennem O?

b) Bestem en formel for koordinatsættet til røringspunktet for hver af tangenterne, der går gennem O

Jeg har en ide om hvad svaret på a) er da jeg har prøvet at lave en skitse og jeg fandt frem til at r<a for ellers kan man ikke tegne tangenterne

På forhånd, tak

Brugbart svar (1)

Svar #1
02. april 2014 af mathon

a)
$\left ( x-a \right )^2+y^2=r^2$
2 tangenter gennem O kræver, som du siger, r < a.

Svar #2
02. april 2014 af Kemi1996 (Slettet)

Ok så fik jeg lige afklaret det

Hvad med b) ? Den er lidt mere besværlig

Brugbart svar (0)

Svar #3
02. april 2014 af mathon

b)
       ved differentiation med hensyn til x
       fås:
                        $2\left ( x-a \right )+2y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=0$

${\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\left \pm ( x-a ) \right )}{ \sqrt{r^2-(x-a)^2}}$ gennem (0,0)
giver
${\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\left \pm a }{ \sqrt{r^2-a^2}}$

De to tangenter gennem O
har ligningerne
$t_1:\; \; y=\frac{-a}{\sqrt{r^2-a^2}}\cdot x$ med normalvektor $\overrightarrow{n_1}=\begin{pmatrix} \frac{a}{\sqrt{r^2-a^2}}\\ 1 \end{pmatrix}$

$t_2:\; \; y=\frac{a}{\sqrt{r^2-a^2}}\cdot x$ med normalvektor $\overrightarrow{n_2}=\begin{pmatrix} \frac{-a}{\sqrt{r^2-a^2}}\\ 1 \end{pmatrix}$

Svar #4
02. april 2014 af Kemi1996 (Slettet)

#3 Hvorfor anvender du netop differentation ?

Brugbart svar (1)

Svar #5
02. april 2014 af mathon

begge med længden
$\left | \vec{n} \right |=r\cdot \sqrt{\frac{1}{r^2-a^2}}$

Røringspunkterne
findes af:
$\overrightarrow{OR}=\begin{pmatrix} a\\0 \end{pmatrix}\pm r\cdot \frac{\vec{n}}{\left | \vec{n} \right |}$

Svar #6
02. april 2014 af Kemi1996 (Slettet)

Okay - tak for hjælpen !

Skriv et svar til: Cirkler - Vektorer i planen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.