Matematik

Vektorer i planen

30. juli 2014 af Deutschland95 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Definér skalarprodukt og redegør for sammenhængen mellem skalarprodukt defineret ved koordinater hhv. ved længder af og vinkel mellem vektorer.?

Brugbart svar (0)

Svar #1
31. juli 2014 af mathon

For vektorerne
$\vec{a}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix}\; \; \; og\; \; \;\vec{b}=\begin{pmatrix} b_1\\b_2 \end{pmatrix}$
defineres skalarproduktet
$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2$

Brugbart svar (0)

Svar #2
31. juli 2014 af mathon

Når $\overrightarrow{OP}$ er retningsvektor for et vilkårligt punkt på enhedscirklen
gælder
$\cos(v)=\overrightarrow{OP}\cdot \vec{i}$ hvor $\overrightarrow{OP}$ og $\vec{i}$ er enhedsvektorer og v er vinklen mellem $\vec{i}$ og $\overrightarrow{OP}$ .

For vinklen v mellem de egentlige vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ , hvor koordinatsystemets basisvektor vælges til $\vec{i}=\frac{\vec{a}}{\left | \vec{a} \right |}$
haves derfor:

$\cos(v)=\frac{\vec{b}}{\left | \vec{b} \right |}\cdot \frac{\vec{a}}{\left | \vec{a} \right |}=\frac{\vec{b}\cdot \vec{a}}{\left | \vec{b} \right |\cdot \left | \vec{a} \right |}$ som,

da skalarproduktet er kommutativt,
er identisk med

$\cos(v)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left | \vec{a} \right |\cdot \left | \vec{b} \right |}$

hvor
$\vec{a}\cdot \vec{b}\geq 0\; for\:\: v\in \left [ 0;\frac{\pi }{2} \right ]\; eller\; \:v\in \left [ \frac{3\pi }{2};2\pi \right ]$
$\vec{a}\cdot \vec{b}\leq 0\;\; for \;\; v\in \left [ \frac{\pi }{2};\ \frac{3\pi }{2} \right ]$

Brugbart svar (0)

Svar #3
31. juli 2014 af mathon

eller udtrykt:

$\vec{a}\cdot \vec{b}=\left | \vec{a} \right |\cdot \left | \vec{b} \right |\cdot \cos(v)$

for vinklen v mellem de egentlige vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Skriv et svar til: Vektorer i planen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.