Matematik

diff. lign.

31. juli 2014 af linekristensen03 (Slettet) - Niveau: A-niveau

dM/dt = -k*M

hvor k er en konstant, og M er mængden (målt i mg) af stoffet A til tidspunktet t (målt i minutter) Til tidspunktet t = 0 er der 70 mg af stoffet A, og til tidspunktet t=60 er der 20 mg tilbage af stoffet A.

a) bestem forskriften for M(t), og bestem konstanten k

b) bestem M'(60) og gør rede for betydningen af dette tal .

den dag, hvor jeg kommer til at forstå alle disse differentialligninger, bliver en god dag

Brugbart svar (0)

Svar #1
31. juli 2014 af mathon

   Du har
                    $\frac{\mathrm{d}M }{\mathrm{d} t}=-k\cdot M$    som ved separation af de variable
   giver

                      $\frac{1}{M}\cdot dM =-kdt$          som ved integration på begge sider
   giver
                    $\int \frac{1}{M}\cdot dM =\int -kdt$

$\ln(M)=-k\cdot t+\ln(M_o)$

$M=M_0\cdot e^{-k\cdot t}$

$20=70\cdot e^{-k\cdot 60}$

hvoraf
$\frac{7}{2}=e^{k\cdot 60}$
$\ln\left (\frac{7}{2} \right )=60k$

$k=\frac{\ln\left ( \frac{7}{2} \right )}{60}=0,020879$

Brugbart svar (0)

Svar #2
31. juli 2014 af mathon

b)
$M=70\cdot e^{-0,020879\cdot t}$

$M{}'(t)=70\cdot \left ( -0,020879 \right )\cdot e^{-0,020879\cdot t}=-1,46156\cdot e^{-0,020879\cdot t}$

$M{}'(60)=-1,46156\cdot e^{-0,020879\cdot 60}=-0,417588$

Til tiden 60 er henfaldshastigheden $-0,418\; \frac{mg}{min}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
31. juli 2014 af studieportalen0 (Slettet)

det er mit forsøg, ved ikke om det er helt rigtigt.

M'(t) = -k M

har løsningen

M(t) = c e ^{-k t}

hvor c er konstant. k og c findes ud fra oplysninger i opgaven

20 = c e ^{-k 60}

70 = c e ^{-k 0}

to ligninger med to ubekendte, giver

c = 70

k = 0.021

M(t) = 70 e ^{-0.021 t}

M'(t) = -1.47 e^{-0.021 t}

M'(60) = -1.47 e^{-0.021 * 60} = -0.417

Svar #4
01. august 2014 af linekristensen03 (Slettet)

Tak for svarene. Det er så fedt, men så hurtige tilbage meldinger.

Brugbart svar (0)

Svar #5
01. august 2014 af SuneChr

# 4
Det er åbenbart ikke s å fedt, da tilbagemeldingerne er så hurtige.

Brugbart svar (0)

Svar #6
05. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

Når k er bestemt som vist i #1, beregner man M'(60) umiddelbart ved at indsætte i differentialligningen, idet man benytter oplysningen, at M(60) = 20,

M'(60) = -k·M(60) = -(20/60)·ln(7/2) = -(1/3)·ln(7/2) .

Skriv et svar til: diff. lign.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.