Matematik

Restled ved et Taylor-polynomium

12. oktober 2014 af Janiik (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hejsa. Jeg ved godt, hvordan man beregner restleddet af et Taylor-polynomium når vi evaluerer det i et x som ikke er lig der hvor Taylor-polynomiet er "centreret".

Men hvordan beregner man restleddet når vi evaluerer Taylor-polynomiummet i et givet x og multiplicerer dette med en given konstant?

Tag fx T_nf(x).

Det jeg almindeligvis ville gøre er, at jeg vil beregne fⁿ⁺¹(x) og forsøge at maksimere dette, og derefter indsætte dette i restledsformelen.

Men tag nu fx: A * T_nf(x).

Hvordan beregner man et restled af ovenstående hvor A er en konstant? Antag eksempelvis at A * T_nf(x) er et estimat af en eller anden værdi, og jeg vil gerne beregne den maksimale fejl af dette estimat. Hvordan gør man det?

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det er uklart, hvad dit problem går ud på. Kender du Taylorpolynomiet for f(x) og søger det for A·f(x) , hvor A er en konstant?

Svar #2
12. oktober 2014 af Janiik (Slettet)

Hej, og beklager.

Ja, jeg kender Taylor-polynomiet for f(x). Jeg kender ligeledes $a \cdot T_nf(x)$ hvor bare er en konstant. Dette udtryk, $a \cdot T_n f(x)$ , er et estimat af/tilnærmelse til en given talværdi, som vi kan kalde $\omega$ .

Jeg søger ikke et nyt Taylor-polynomium, men jeg vil beregne hvor meget dette estimat afviger fra $\omega$ .

Her er et eksempel.

Vi kan beregne et estimat af $\omega = \sqrt{101}$ ved at opstille et Taylor-polynomium for $f(x) = \sqrt{x}$ centreret omkring 100 af orden ... tjaeh, 2, og vi får da T_2 f(x) = 10 + (x-100)/20 - (x-100)^2/8000 .

Vi kan nu evaluere dette i 101, hvilket giver os et estimat af $\omega \approx T_2 f(101)$ .

Hvis jeg nu ønskede at vurderede nøjagtigheden af dette resultat, da ville jeg bare regne restledet |R_2 f(x)| , og det kan jeg godt finde ud af.

Men antag,at mit ønskede estimat ikke var $\omega = \sqrt{101}$ men derimod $\Omega = \omega \cdot a = \sqrt{101} \cdot a$ $\approx T_2 f(101) \cdot a$ .

Det er det sidstnævnte estimat, $T_2 f(101) \cdot a$ som jeg ønsker at beregne et restled for, men hvordan gør man det, nu hvor jeg har en konstant som bliver multipliceret med mit Taylor-polynomium?

Håber det gav lidt mere mening.

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det hele er vel bare skaleret med konstanten a ?

Skriv et svar til: Restled ved et Taylor-polynomium

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.