Matematik

Bevis for Kuglens Rumfang i Integralregning

29. oktober 2014 af Beczie (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg har kigget og kigget, men kan ikke se en løsning til mit problem nogen steder.

Jeg er nået til det sted i beviset hvor man har sat cirkelens ligning in i omdrejningslegmets rumfangsformel altså π ∫^r_-r√r²-x²dx. Kvadratet og kvadratroden går ud med hinanden; π ∫^r_-rr²-x²dx. Nu skal jeg så finde stamfunktionen til integralet. Alle steder siger de at det skulle blive; [r² * x - 1/3 * x³].

Hvordan bliver r² til r²*x, når r² skulle blive til 1/3 * r^3?

Brugbart svar (1)

Svar #1
29. oktober 2014 af PeterValberg

fordi (hvis vi ser bort fra integrationskonstanten)

$\int{k\,dx}=kx$

I dit integrale er r² jo en konstant.

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Brugbart svar (1)

Svar #2
29. oktober 2014 af mathon

$V_{kugle}=\pi \cdot \int_{-r}^{r}(\sqrt{r^2-x^2})^2dx=\pi\cdot {\color{Red} \mathbf 2} \cdot \int_{0}^{r}(r^2-x^2dx)$ grundet symmetrien om y-aksen

$V_{kugle}=2\pi \cdot \left [r^2\cdot x-\frac{1}{3}\cdot x^3 \right ]_{0}^{r}=2\pi \cdot\left ( r^3-\frac{1}{3}r^3 \right )=2\pi \cdot \frac{2}{3}r^3=\frac{4\pi }{3}r^3$

Svar #3
29. oktober 2014 af Beczie (Slettet)

#1
fordi (hvis vi ser bort fra integrationskonstanten)

$\int{k\,dx}=kx$

I dit integrale er r² jo en konstant.

Hvorfor er r²en konstant? Det kan jeg ikke få til at hænge sammen,

Brugbart svar (1)

Svar #4
29. oktober 2014 af PeterValberg

#3 fordi du integrerer ift. x

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Skriv et svar til: Bevis for Kuglens Rumfang i Integralregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.